Модераторы: maxim1000
  

Поиск:

Ответ в темуСоздание новой темы Создание опроса
> Интерполяция функций степенным рядом 
:(
    Опции темы
babat
Дата 8.12.2013, 15:16 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка ... Загрузка ... Быстрая цитата Цитата


Новичок



Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 29
Регистрация: 6.11.2011

Репутация: нет
Всего: нет



Необходимо интерполировать некоторую функцию степенным рядом. 
Можете подсказать алгоритм такой интерполяции, поскольку в интернете очень мало информации. А так же подсказать, как связаны между собой интерполяция степенным рядом и полиномы Чебышева? Их вроде используют для минимизации оценки погрешности, а не самой интерполяции.
PM MAIL   Вверх
Фантом
Дата 8.12.2013, 15:37 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка ... Загрузка ... Быстрая цитата Цитата


Вы это прекратите!
***


Профиль
Группа: Участник Клуба
Сообщений: 1516
Регистрация: 23.3.2008

Репутация: 2
Всего: 49



Цитата(babat @  8.12.2013,  16:16 Найти цитируемый пост)

Можете подсказать алгоритм такой интерполяции, поскольку в интернете очень мало информации.

Мало?!  smile 

На самом деле - навалом. Даже в банальной Википедии: посмотрите статью "Интерполяция", а потом ее раздел "Интерполяция многочленами" (там, в свою очередь, ссылки "Интерполяционная формула Ньютона" и "Многочлен Лагранжа"). 

Цитата(babat @  8.12.2013,  16:16 Найти цитируемый пост)
А так же подсказать, как связаны между собой интерполяция степенным рядом и полиномы Чебышева?

Полином Чебышева (строго говоря, ПЧ первого рода) - это по определению полином, наименее уклоняющийся от нуля на отрезке [-1;1]. Можно показать (хотя интуитивно это более-менее и так понятно), что при выборе корней полинома Чебышева соответствующей степени в качестве узлов интерполирования максимальное отклонение интерполяционного полинома от  интерполируемой функции будет минимальным (при условии, что функция достаточно гладкая). С практической точки зрения это полезно, поэтому чебышевские сетки, как правило, для интерполирования и используют.
PM   Вверх
babat
Дата 8.12.2013, 15:44 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка ... Загрузка ... Быстрая цитата Цитата


Новичок



Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 29
Регистрация: 6.11.2011

Репутация: нет
Всего: нет



Фантом, Но ведь Ньютон-Лагранж это интерполяция полиномами,а не степенным рядом.
Еще
 т.е. вместо стандартной задачи, где мы задаем сетку сами, полиномы чебышева определяют сетку сами?
т.е. такого понятия, как интерполяция полиномами чебышева не существует или как?
PM MAIL   Вверх
Фантом
Дата 8.12.2013, 16:27 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка ... Загрузка ... Быстрая цитата Цитата


Вы это прекратите!
***


Профиль
Группа: Участник Клуба
Сообщений: 1516
Регистрация: 23.3.2008

Репутация: 2
Всего: 49



Цитата(babat @  8.12.2013,  16:44 Найти цитируемый пост)
Но ведь Ньютон-Лагранж это интерполяция полиномами,а не степенным рядом.

А в чем разница между полиномом и степенным рядом? smile 

Цитата(babat @  8.12.2013,  16:44 Найти цитируемый пост)

 т.е. вместо стандартной задачи, где мы задаем сетку сами, полиномы чебышева определяют сетку сами?

Мы, как правило, можем выбрать сетку произвольным образом. Тогда есть два наиболее разумных варианта: равномерная сетка (ввиду ее максимальной простоты) и чебышевская сетка (ввиду ее оптимальности в большинстве случаев).

Цитата(babat @  8.12.2013,  16:44 Найти цитируемый пост)
т.е. такого понятия, как интерполяция полиномами чебышева не существует или как? 

Нет, естественно. Какой смысл может иметь интерполяция заранее известной функцией (не классом функций, а именно одной определенной)?
PM   Вверх
babat
Дата 8.12.2013, 16:41 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка ... Загрузка ... Быстрая цитата Цитата


Новичок



Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 29
Регистрация: 6.11.2011

Репутация: нет
Всего: нет



Фантом, Хорошо, насчёт степенного ряда понятно, просто думал, что он отличается от обычного полинома, раз даже отдельным пунктом в задании идет.
Насчёт полинома Чебышева.
Вот по заданным х, он дает некоторый ответ T(x); На основании этого строится сетка. Я думал, что сама задача интерполяции является в нахождении промежуточных значениях на заданной сетке, т.е. таким образом мы можем получать значения конкретной функции на заданном промежутке. Тогда если мы зададим сетку Чебышева, то какой смысл во всем этом? 
Спасибо за ответы
PM MAIL   Вверх
Фантом
Дата 8.12.2013, 17:01 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка ... Загрузка ... Быстрая цитата Цитата


Вы это прекратите!
***


Профиль
Группа: Участник Клуба
Сообщений: 1516
Регистрация: 23.3.2008

Репутация: 2
Всего: 49



Цитата(babat @  8.12.2013,  17:41 Найти цитируемый пост)
Хорошо, насчёт степенного ряда понятно, просто думал, что он отличается от обычного полинома, раз даже отдельным пунктом в задании идет.

Хм... есть, пожалуй, еще один вариант. Речь точно идет об интерполяции? Или, может быть, все же об аппроксимации (или приближении)? Вы (или автор задания) не могли перепутать термины?

Цитата(babat @  8.12.2013,  17:41 Найти цитируемый пост)

Вот по заданным х, он дает некоторый ответ T(x); На основании этого строится сетка. Я думал, что сама задача интерполяции является в нахождении промежуточных значениях на заданной сетке, т.е. таким образом мы можем получать значения конкретной функции на заданном промежутке. Тогда если мы зададим сетку Чебышева, то какой смысл во всем этом? 

Если речь идет все же именно об интерполяции, то формальная задача, которую следует решать, выглядит так:
есть некоторый набор данных {(x_i,y_i)}, требуется найти аналитически заданную функцию y=f(x), такую что для всех i y_i=f(x_i).

Выбор точек x_i, в которых заданы значения, обычно произволен и зависит от нашего желания. Дело в том, что ситуация, когда все аргументы и значения функции в них заданы заранее, как правило, возникает при описании каких-то экспериментальных данных, а они измеряются с ошибками. В этом случае нет смысла проводить произвольную функцию точно через все точки, куда полезнее провести функцию некоторого заранее заданного вида так, чтобы она проходила через точки лишь приблизительно. Таким образом, сетку для интерполирования мы можем (почти) всегда выбирать сами, и известно, что сетка, состоящая из корней полиномов Чебышева, оказывается в некотором смысле наилучшей.
PM   Вверх
babat
Дата 8.12.2013, 17:29 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка ... Загрузка ... Быстрая цитата Цитата


Новичок



Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 29
Регистрация: 6.11.2011

Репутация: нет
Всего: нет



Фантом, мы не ошиблись,а вот автор могла)) 
Получается что мы можем аппроксимировать, используя полином Чебышева, находя нужные коэф. для сетки, ну и сравнивания с другими функциями(которыми аппроксимируем) с помощью метода наименьших квадратов к примеру. А вот алгоритма для интерполяции нет. Потому что сетку мы получили, а как её наложить на наши значения непонятно, ведь конкретное значение в точке х,может не совпасть с конкретным значением в той же точки полинома Чебышева?
PM MAIL   Вверх
Фантом
Дата 8.12.2013, 17:59 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка ... Загрузка ... Быстрая цитата Цитата


Вы это прекратите!
***


Профиль
Группа: Участник Клуба
Сообщений: 1516
Регистрация: 23.3.2008

Репутация: 2
Всего: 49



Цитата(babat @  8.12.2013,  18:29 Найти цитируемый пост)
Фантом, мы не ошиблись,а вот автор могла)) 

Тогда надо бы точно выяснить, что имелось в виду.


Цитата(babat @  8.12.2013,  18:29 Найти цитируемый пост)

Получается что мы можем аппроксимировать, используя полином Чебышева, находя нужные коэф. для сетки,

Коэффициентов у сетки не бывает. И полином Чебышева некоторой конкретной степени - это некая конкретная функция без свободных параметров.
PM   Вверх
babat
Дата 8.12.2013, 18:22 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка ... Загрузка ... Быстрая цитата Цитата


Новичок



Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 29
Регистрация: 6.11.2011

Репутация: нет
Всего: нет



Фантом, Задание звучит так: Интерполяция функции степенным рядом, полиномы Чебышева, вычисление рядов. Общая тема "Вычисление функций: интерполяция"
И тут я встаю в тупик: у меня уже задана сетка, что мне делать с сеткой Чебышева? Ведь передо мной стоит задача не аппроксимации, а именно интерполяции. И если брать интерполяцию усеченным степенным рядом(где кол-во членов равно кол-ву узлов), то мы получим полином Лагранжа, и вроде даже по теореме, такой существует единственный.
В общем именно эта часть задания ставит меня в ступор. Возможно есть ошибка в моей логике, все же я слабо разбираюсь в темах интерполяции и аппроксимации. Если вы на неё укажите, буду благодарен.
А если я все правильно понимаю, то получается либо моя интерпретация задания не верна, либо само задание некорректно?

PM MAIL   Вверх
Фантом
Дата 8.12.2013, 18:59 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка ... Загрузка ... Быстрая цитата Цитата


Вы это прекратите!
***


Профиль
Группа: Участник Клуба
Сообщений: 1516
Регистрация: 23.3.2008

Репутация: 2
Всего: 49



Да, похоже, что проблема из-за терминологической каши в задании. Надо выяснять, что от Вас хотели.

Цитата(babat @  8.12.2013,  19:22 Найти цитируемый пост)
И если брать интерполяцию усеченным степенным рядом(где кол-во членов равно кол-ву узлов), то мы получим полином Лагранжа, и вроде даже по теореме, такой существует единственный.

Единственный для данного набора {(x_i,y_i)}. Поменяется сетка - поменяется и набор и, как следствие, полином Лагранжа.
PM   Вверх
Milkho
Дата 21.5.2016, 22:21 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка ... Загрузка ... Быстрая цитата Цитата


Новичок



Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 1
Регистрация: 21.5.2016

Репутация: нет
Всего: нет



Цитата(Фантом @ 8.12.2013,  15:37)
Цитата(babat @  8.12.2013,  16:16 Найти цитируемый пост)

Можете подсказать алгоритм такой интерполяции, поскольку в интернете очень мало информации.

Мало?!  smile 

На самом деле - навалом. Даже в банальной Википедии: посмотрите статью "Интерполяция", а потом ее раздел "Интерполяция многочленами" (там, в свою очередь, ссылки "Интерполяционная формула Ньютона" и "Многочлен Лагранжа"). 

Цитата(babat @  8.12.2013,  16:16 Найти цитируемый пост)
А так же подсказать, как связаны между собой интерполяция степенным рядом и полиномы Чебышева?

Полином Чебышева (строго говоря, ПЧ первого рода) - это по определению полином, наименее уклоняющийся от нуля на отрезке [-1;1]. Можно показать (хотя интуитивно это более-менее и так понятно), что при выборе корней полинома Чебышева соответствующей степени в качестве узлов интерполирования максимальное отклонение интерполяционного полинома от  интерполируемой функции будет минимальным (при условии, что функция достаточно гладкая). С практической точки зрения это полезно, поэтому чебышевские сетки, как правило, для интерполирования и используют.

Здравствуйте, не могли бы вы мне немного помочь с интерполяцией методом Чебышева?
PM MAIL   Вверх
Google
  Дата 17.9.2019, 04:37 (ссылка)  





  Вверх
  
Ответ в темуСоздание новой темы Создание опроса
Правила форума "Алгоритмы"

maxim1000

Форум "Алгоритмы" предназначен для обсуждения вопросов, связанных только с алгоритмами и структурами данных, без привязки к конкретному языку программирования и/или программному продукту.


Если Вам понравилась атмосфера форума, заходите к нам чаще! С уважением, maxim1000.

 
1 Пользователей читают эту тему (1 Гостей и 0 Скрытых Пользователей)
0 Пользователей:
« Предыдущая тема | Алгоритмы | Следующая тема »


 




[ Время генерации скрипта: 0.0869 ]   [ Использовано запросов: 20 ]   [ GZIP включён ]


Реклама на сайте     Информационное спонсорство

 
По вопросам размещения рекламы пишите на vladimir(sobaka)vingrad.ru
Отказ от ответственности     Powered by Invision Power Board(R) 1.3 © 2003  IPS, Inc.