Здравствуйте. Помогите пожалуйста найти ответ на вопрос. Кидаем под прямым углом, два камня разной массы, с одинаковой скоростью, прикладывая одинаковые усилия. Почему более тяжелый камень летит дальше, чем легкий. Желательно математическое обоснование этого. Заранее спасибо за ответы. 

  Привет! А это как, вверх что ли?... 

Кидаем параллельно земли)

Уже лучше. Однако, над чёткостью формулировок было бы неплохо ещё поработать.
В частности:

1. "Кидаем параллельно земли" - эта фраза логичнее звучала бы так: "параллельно горизонтальной поверхности".
2. Фразу "более тяжелый камень летит дальше, чем легкий" логичнее было бы сформулировать так:
"камень с большей массой в условиях Земли обычно летит дальше, чем камень с меньшей массой".
3. Фраза "с одинаковой скоростью, прикладывая одинаковые усилия" является внутренне противоречивой, поскольку для придания одинаковой скорости к камню с меньшей массой требуется приложить меньшее усилие (поскольку масса есть способность тела сопротивляться ускорению). В свою очередь, если прикладывается одинаковое усилие к камням разной массы, то это означает, что камень с меньшей массой получает большее ускорение.

Исходя из пункта 3 получаем, что, если принять за условие задачи именно "одинаковое усилие", то начальная скорость камня с меньшей массой будет выше. Соответственно, при отсутствии атмосферы (например, на Луне), такой камень полетит дальше, поскольку ускорение свободного падения не зависит от массы, и дальность полёта определяется только начальной скоростью. Если же атмосфера присутствует, то результат будет определяться соотношением масс и аэродинамических свойств камней, а также плотностью воздуха, которая зависит, в свою очередь, от погоды, температуры и высоты над уровнем моря. Кроме того, плотность воздуха зависит от того, на какой планете производится эксперимент. Например, на Марсе влиянием атмосферы при проведении данного эксперимента можно пренебречь (имея в виду разумные размеры камней), в то время, как, например, на Земле, а тем более на Венере, влиянием атмосферы пренебрегать нельзя.

Спасибо за корректировки условий задачи. Предположим, что оба камня лежали в одной руке и вылетели соответсвенно одновременно. Разве в этом случае начальное усилие человека и начальная скорость камней не будет одинаковой?

Попробуйте взять не два камня, а камень и бумажку. Бросьте их и истина озарит вас.

Тогда в условиях задачи имеем "брошены с одинаковой скоростью". При всей внешней (и обманчивой) простоте, вариант тоже очень интересный.


Это частный случай. Я, кажется, уже упоминал "обманчивую простоту"?

На самом деле дальность полёта зависит не от массы, а от соотношения массы и аэродинамического сопротивления.

Рассмотрим простой случай: отсутствует атмосфера. Тогда камни разной массы, брошенные в одинаковом направлении (параллельно горизонтальной поверхности) с одинаковой высоты, пролетят одинаковое расстояние (причины уже объяснял).

Усложняем задачу: присутствует атмосфера.
Оба камня обдувает встречный поток воздуха, воздействуя на них с некоторой силой, направленной против направления движения. Эта сила стремится изменить скорость движения камней, т.е. придать им ускорение. Дальше пролетит тот камень, который испытает меньшее ускорение от тормозящей силы.
Ускорение, получаемое каждым камнем, зависит от двух величин:

1. Силы, прикладываемой к камню потоком.
2. Массы камня, которая препятствует изменению скорости под действием приложенной силы.

Поэтому говорить, что дальность полёта камня в атмосфере зависит только от массы, категорически непрвильно. Это было бы верно только при идентичных аэродинамических свойствах, т.е уравнивании сил, действующих на оба камня. Тогда, при равенстве сил, дальность действительно будет зависеть только от массы. Для корректности хотел бы заметить, что в данном рассмотрении под "дальностью" понимается не абсолютные количественные показатели, а относительные, рассматриваемые с точки зрения "дальше/ближе".
 
Теперь рассмотрим качественно (не количественно) два варианта:

1. Тяжёлый камень летит дальше.
2. Лёгкий камень летит дальше.

Нужно доказать, что при определённых обстоятельствах возможен как один, так и другой вариант.
Для этого следует рассмотреть крайние варианты, причём варианты, понятные на обычном бытовом уровне, без применения формул.

1. Берём камень и скомканную бумажку (привет, Shlit). Первый вариант доказан.
2. Берём килограмм пенопласта и 100-граммовый камень. Второй вариант доказан.

Таким образом, можно считать доказанным тезис, что дальше летит не более тяжёлый камень, а тот, у которого для этого более удачное соотношение массы и аэродинамических свойств.

Теперь вернёмся к частному случаю.
Допустим, имеется два камня разной массы одинаковой формы (допустим, шарообразной), одинаковой плотности, без пустот.
Какой камень полетит дальше?
Правильно, тот, который имеет большую массу.
Почему?
Рассмотрим зависимость силы воздействия потока и массы камня от диаметра камня.

1. Аэродинамическое сопротивление растёт приблизительно пропорционально площади передней проекции камня (т.е., в данном случае, круга). Площадь круга прямо пропорциональна квадрату диаметра.
2. Масса зависит от объёма камня. Объём шара прямо пропорционален кубу диаметра.

Таким образом, при увеличении диаметра камня, его масса будет расти быстрее, чем сила аэродинамического сопротивления. Соответственно, тяжёлый камень при заданных условиях, полетит дальше. Но это частный случай.

Спасибо за такой подробный ответ) Как можно математически объяснить этот момент 



Это сообщение отредактировал(а) zargandr - 30.6.2014, 12:16

Законы Ньютона

И далее по ссылкам, в частности:

Второй закон Ньютона
Масса

Тема, конечно, покинута, но всё-таки забавляет то, как люди живут в нашем мире не задумываясь над такими вещами. Ладно ещё дуализм света, но аэродинамика..