Есть ломанная линия, отрезки которой являются хордами некой окружности.
Известны длины всех хорд и центральный угол, который охватывает эти хорды.
Как найти радиус?


Дано: w1,w2,...,wn и a
Найти: R

Это сообщение отредактировал(а) wowka19 - 15.5.2014, 02:22

Решения одной закрытой формулой пока в голову не пришло, но численным методом несложно:

Зная длины отрезков и радиус, посчитать значение угла несложно. И зависимость эта будет монотонная (больше радиус - меньше угол).

Так что можно оценить диапазон возможных знацений радиуса и воспользоваться, например, бинарным поиском.

Для нижней оценки подойдёт ноль.

Для верхней можно оценить длину дуги - она не будет больше, чем в Пи раз больше длины полилинии. Эту оценку делим на угол - получаем верхнюю границу для радиуса.

хорде Wi соответствует угол ai, такой, что
sin(ai/2)=Wi/2/R
т.е. нужно выразить R из выражения
a=sum(ai)=2*sum(arcsin(Wi/2/R))

Друзья, чем вы слушаете читаете? Мне нужно выразить R, а не угол. И формула   - мне давно известна, но для меня бесполезна, ибо нужен РАДИУС!!! а не угол.

Добавлено @ 08:58
вопрос остался

Это сообщение отредактировал(а) wowka19 - 15.5.2014, 08:59

если известен угол значит известен центр окружности?

нет.

тогда интересно как вы получаете этот угол, ведь тогда точка центра может двигаться и угол соответственно тоже будет меняться.

ну так в том ответе так и написано:



в случае моего ответа: бинарный поиск - тоже способ посчитать R

mrgloom, Угол я не получаю, я его задаю.

maxim1000, ну так выразите R.

можно представить ломанную как точки и использовать МНК.

google -> fit circle least squares

Что-то я не понимаю.

 Есть формула в которой известно все, кроме радиуса. Решается любым численным методом на раз. Методов для решения уравнений с одним неизвестным море, а при такой простой формуле даже и Монте-Карло потянет без проблем  


Может можно и аналитически ее вывернуть, но я не настолько в этом силен, чтобы быстренько выдать решение.

ЗЫ: Понятное дело, если отрезков очень уж много, то компу придется потрудиться чуть больше. Но, при большом числе отрезков, можно просто принять их сумму за длину дуги и посчитать радиус по школьной формуле без большой ошибки.


Это сообщение отредактировал(а) _Y_ - 20.5.2014, 19:30

Аналитически в действительных числах не решается. В комплексных формула получается в виде ряда определенного рекурентно, а потом этот ряд еще придется обращать. Думаю, что численное решение - наиболее быстрый путь.
Функция угла от радиуса является монотонно убывающей
Взять R=1 если a®<А (А- требуемый угол), то делим R на 2,  до тех пор пока неравенство сохраняется.
Если a®>А, то умножаем R на два, пока неравенство сохраняется.
Имеем два радиуса при меньшем верно a(R_1)>A, при большем a(R_2)<A
Далее, например, дихотомией. Должно сойтись довольно быстро.
В принципе, если считать что углы при каждой хорде достаточно малы, можно для определения стартовой точки воспользоваться оценкой sin(a)~a~arcsin(a).