o(f(x)) - это сокращение от s(x)*f(x), где s(x) - это некоторая функция, стремящаяся к 0. Если в одном выражении несколько раз встречается символ o(.), то для разных вхождений нужно брать разные s(x).
Свойство o(x)+o(x)=o(x); читается "сумма двух бесконечно малых по сравнению с x бесконечно мала по сравнению с x". Первое o(x) - это некоторая s1(x)*x, второе - s2(x)*x. Нужно доказать, что существует какая-то s3(x), т.ч. s1(x)*x+s2(x)*x = s3(x)*x, и при этом s3(x)->0. В качестве s3(x) можно взять s1(x)+s2(x); то, что сумма бесконечно малых (самих по себе, а не относительно какой-то другой) функций бесконечно мала - это отдельная теорема (в зависимости от изложения, либо следствие теоремы о пределе суммы, либо ее частный случай, доказываемый до общего).
Про дифференциал. Фиксируется некоторое число x0. В качестве переменной рассматривается приращение аргумента h [в некоторой окрестности 0]. Если существует такое число A, что выполняется следующее соотношение
f(x0+h)-f(x0) = A*h+o(h),
то функция f называется дифференцируемой в точке x0, число A называется производной функции f в точке x0, а функция d(h) = A*h - дифференциалом. Дифференциал (функция от h) определяется двумя параметрами - функцией f и точкой x0.
Формулу можно раскрыть: число A - производная функции f в точке x0, если есть такая функция s(h), [определенная в некоторой окрестности 0], что
1) для всех h [в этой окрестности] f(x0+h)-f(x0) = A*h+s(h)*h;
2) s(h)->0 при h->0. |
Ничерта не могу осознать символы о-маленькое и О-большое.
