Тоесть если у нас вектор M(a,b) и N(c,d), то по идее площадь равна |M|*|N|*sinA между ними.
Но получается, что она же равняется a*d - b*c (через определитель).
непонятно почему |M|*|N|*sinA = a*d - b*c.
| Версия для печати темы
Нажмите сюда для просмотра этой темы в оригинальном формате |
| Форум программистов > Центр помощи > [Алгоритм] Площадь параллелограма равна определителю ? |
| Автор: Killerman 6.11.2007, 13:47 |
| Почему площадь параллелограмма между 2-мя векторами равна определителю этих векторов? Тоесть если у нас вектор M(a,b) и N(c,d), то по идее площадь равна |M|*|N|*sinA между ними. Но получается, что она же равняется a*d - b*c (через определитель). непонятно почему |M|*|N|*sinA = a*d - b*c. |
| Автор: under_sun 6.11.2007, 14:50 |
| По определению векторного произведения |[a,b]|=|a|*|b|*sinA i j k А также [a,b] = x1 y1 z1 x2 y2 z2 в твоем случае: i j k [a,b] = x1 y1 0 x2 y2 0 раскладывая по третьему столбцу (вроде в алгебре это так называется), получим [a,b] = x1 y1 x2 y2 Поэтому |a|*|b|sinA = |x1*y2 - y1*x2| |
| Автор: Killerman 6.11.2007, 14:58 |
| Ну это все понятно. А доказательство? |
| Автор: marcusmae 6.11.2007, 16:20 | ||
Killerman, лично я наблюдаю доказательство в посте under_sun. Открой книжку по аналитической геометрии  |
| Автор: Killerman 6.11.2007, 16:35 |
| Это не доказательство а определение. На самом деле я вроде нашел часть доказательства на http://kvm.gubkin.ru/G5.pdf --- конец 164, начало 165 страницы.  Но всеравно оно не очень наглядное.  |
| Автор: marcusmae 6.11.2007, 17:58 | ||
Через синус - определение, а вот формула (2) - это уже свойство, и из него прямо вытекает нужная Вам формула. |
| Автор: under_sun 6.11.2007, 20:34 | ||||
Противоречие...  Мне не понятно, что тут доказывать? Если x=y и x=z то y=z - это и так очевидно... |
| Автор: Killerman 7.11.2007, 14:57 |
| Если вы смотрели мою ссылку, то там приведено следующее доказательство: Если 2-ва вектора M(a,b) и N(c,d) перемножить (векторно), то получим: MxN = (a*e1+b*e2)x(c*e1+d*e2) = a*e1 x c*e1 + a*e1 x d*e2 + b*e2 x c*e1 + b*e2 x d*e2 = = a*c*e1xe1 + a*d*e1xe2 + b*c*e2*e1 + b*d*e2xe2. Поскольку e1xe1 = e1*e1*sin(угла между ними = 0) = 0, а e1xe2 = -e2xe1, получаем: MxN = a*d*e1e2 - b*c*e1e2. что УДОБНО! записать в виде определителя: |a b | |c d | Тоесть доказательство есть. Но я хотел увидеть это все на плоскости с изображенным векторов и параллелограмма между ними, и вывод формулы из рисунка. Вот в чем был вопрос. |
| Автор: AlexST 26.11.2007, 19:18 |
| Killerman, площадь пар-ма - это побочный смысл. Им для вывода можно не пользоваться. |
