| Версия для печати темы
Нажмите сюда для просмотра этой темы в оригинальном формате |
| Форум программистов > Центр помощи > [Математика] Задача на производную |
| Автор: Tej 29.11.2010, 15:01 |
| Здравствуйте. Задали задачу на производную в типовом расчёте, убил на неё почти один целый день и не решил, хотя производную от функции я умею выводить. Решил обратиться на Ваш форум за получением помощи. Вот условие этой задачи: "Из бумажного круга радиуса R вырезан сектор, а из оставшейся его части склеена коническая воронка. Какой угол должен иметь вырезанный сектор, чтобы объем воронки был наибольшим?" Буду очень благодарен. |
| Автор: Фантом 29.11.2010, 18:25 |
| Очевидно, что все линейные размеры пропорциональны R, так что для простоты примем R=1, ответ на вопрос задачи от этого не зависит. Если вырезан сектор с центральным углом f (в радианах), то получится конус с длиной окружности в основании, равной 2*pi-f. Отсюда радиус основания равен r=(2*pi-f)*2/pi=1-f/2/pi. Высота конуса равна h=sqrt(1-r^2), а объем V=pi*r^2*h/3. Нам нужен максимальный объем, т.е. требуется сделать максимальной функцию f®=r^2*sqrt(1-r^2) (все прочее - постоянные множители, не влияющие на результат). Дифференцируем ее, приравниваем производную к нулю и получаем уравнение 2*r=3*r^3. Нам нужен только r>0, так что r=sqrt(2/3). Отсюда угол f=2*(1-sqrt(2/3))*pi, т.е. примерно 66 градусов. |
| Автор: Tej 30.11.2010, 00:10 | ||
Огромнейшее спасибо! Я всё понял до этого момента.
И как мы её дифференциируем? Т.е. берём от неё производную? И почему f®=r^2*sqrt(1-r^2) ? f в этом уравнении угол или f=функция? |
| Автор: Фантом 30.11.2010, 00:37 | ||||
Да, именно. Обычная производная произведения, 2*r*sqrt(1-r^2)-r^2/2/sqrt(1-r^2)*2*r. В получившемся результате, кстати, удобно умножить числитель и знаменатель на sqrt(1-r^2) - квадратные корни пропадут, тем более что равняться нулю должен именно числитель.
Просто некая абстрактная функция. Прошу прощения, не сообразил, что уже занял букву (я в качестве обозначения угла держал в голове греческую "фи", поэтому прозевал совпадение). |
| Автор: Tej 30.11.2010, 02:26 | ||
у меня производная этой функции получилась (r-2*®^3)/(sqrt((1-®^2)) . Я вот так и не понял, откуда вышла сама эта функция, ну вот эта f®=r^2*sqrt(1-r^2) . Вы же написали, что она некая абстрактная, так как же мы её нашли?
и вот это как мы тоже получили, я не понял. Лучше пожалуйста по-подробней с момента приравнивания производной функции к нулю. |
| Автор: Tej 30.11.2010, 23:46 |
всё правильно, разобрался  Видимо вчера ночью у меня уже голова не работала Огромное спасибо за решение! |
