| Версия для печати темы
Нажмите сюда для просмотра этой темы в оригинальном формате |
| Форум программистов > Центр помощи > [Мат. анализ] Задача по пределам... |
| Автор: En_t_end 22.10.2006, 15:10 | ||||
| Сразу оговорюсь, что пределы я не люблю ещё со школы, именно потому что не могу врубится в них до нужной мне глубины. Есть такая задача:
Что я делал:
А вот дальше мне нужно выяснить убывают или возрастают эти последовательности, на а потом уже выяснить супремум и инфенум и соответственно найти пределы. Вопрос... как очевидно показать убывают или возрастают данные последовательности ? |
| Автор: Mal Hack 22.10.2006, 15:24 |
| Последовательность убывает, когда X(n) >= X(n+1), возрастает, соответственно при <=/. Рассматриваешь предел последовательности сначала для X(n), затем для X(n+1), затем сравниваешь. При этом, функция должна быть ограниченна сверху (снизу) Что такое верхний, нижний предел - не помню... |
| Автор: En_t_end 22.10.2006, 15:32 | ||||||
Mal Hack,
Дело в том, что в последовательности заюзан косинус... я выяснил его поведение при n=2n-1 - это:
n=2n:
От сюда ясно, что ничего не ясно  Добавлено @ 15:37 Mal Hack, проще говоря... я не могу добраться до монотонных подпоследовательностей. Неужели нужно бить эти две подпоследовательности под периодичность косинуса ? |
| Автор: Mal Hack 22.10.2006, 15:42 |
| На cos забить можно. Эта функция - ограниченна. |
| Автор: Kuvaldis 22.10.2006, 16:11 | ||
Mal Hack,
Ты не прав, у нас не сумма ряда (как я понял, ты хотел прикрутить сюда признак Дирихле сходимости) En_t_end, Используем свойство последовательности, если сходится последовательность к А то к А сходится и любая ее подпоследовательность. Рассмотрим 2 подпоследовательности 1. n = 12 k тогда cos((pi*n)/6) = cos (2 * pi * k) = 1 и наш предел = lim (n ^ 2 - 1) / n ^ 2 + 1) = 1 (отношение старших членов) 2. n = 3 * (4 * k + 1) тогда cos((pi*n)/6) = cos ( pi (12 k + 3) / 6 ) = cos (2 * Pi * k + pi / 2) = cos (PI / 2) = 0 Значит, аналогичным образом для данной последовательности n = 3 * (4 * k + 1) предел = 0 Значит, общий предел для всей последовательности не существует (нарушено необходимое условие) |
| Автор: Mal Hack 22.10.2006, 16:21 | ||
Ряды тут не при чем... При n-> бесконечности, cos будет колебаться между -1 и 1, тобишь это будет какая-то константа. На константу можно забить. |
| Автор: Kuvaldis 22.10.2006, 16:22 |
| Mal Hack, забить можно, если бы обрезанная последовательность была заключена между двумя сходящимися к одному и тому же числу последовательностями (теорема "о двух милиционерах") вот тебе классический пример cos(1 / x) - предела нет Очевидно что модуль исходной последовательности >= 0 Если бы было Yn = (n - 1) / (n^2 + 1), то предел этот был бы равен 0. Тогда можно было бы пренебречь cos и сказатьЖ 0 <= Xn <= Yn причем Yn предел =0 Значит Xn предел = 0 |
| Автор: Mal Hack 22.10.2006, 16:25 |
| Кстати, раз уш пошла пьянка про ряды... Можно представить последовательность через Тейлора, по крайней мере ее часть, которую занимает косинус. Далеее можно расмотреть уже и обычный предел. |
| Автор: Kuvaldis 22.10.2006, 16:29 | ||
Mal Hack,
Не получится, там разложение вблизи нуля, я об этом уже думал |
| Автор: Mal Hack 22.10.2006, 16:36 | ||
Kuvaldis, странно, странно, не буду спорить, т.к. на все 100% не уверен...
Ноль-то нулем. Можно заменить формулой через n. Формулой N члена ряда, полученного по Тейлоровскому разложению... Хотя, там все равно все в 0 уйдет вроде... |
| Автор: Kuvaldis 22.10.2006, 16:36 | ||||
Только что полистал сборник "Антидемидович", нашел похожий пример (№ 96).
Решается так, как и я делал, ответ - предел не существует Добавлено @ 16:39 Mal Hack,
Можно бы было, если бы была такая картина (cos (pi / (6 * n)) т.е. когда выражение под косинусом стремится к нулю (взять в качестве x := 1 / n) Но увы... |
| Автор: En_t_end 22.10.2006, 18:53 | ||
А как же верхний и нижний пределы ? |
| Автор: Aloha 22.10.2006, 19:04 |
| En_t_end Соответственно +1 и -1 |
