Форум программистов [Powered by Invision Power Board]

Версия для печати темы
Нажмите сюда для просмотра этой темы в оригинальном формате

Форум программистов > Центр помощи > [Алгебра] Нахождение собственных векторов

Автор: Bangladesh 23.11.2006, 22:39

Здравствуйте. Есть задача (вместо лянды буду ставить амперсанд (&)):

Найти собственные числа и векторы:

Код



Матрица:

      3 -1  1 
A =  -1  5 -1
      1 -1  3

Составляю характеристическое уравнение:
detA (A - &E) = (3 - &)(5 - &)(3 - &) + 1 + 1 - (3 - &) - (3 - &) - (5 - &).

Приводим это к следующему путем вынесения за скобки и т.д.:
(5 - &)(&^2 - 4& + 4).

Далее так:
5 - & = 0 => &1 = 5;
или 
&^2 - 4& + 4 = 0
D = 0 =>
&2,3 = 4/2 = 2;

Т.е. получается, что я нашел собственные числа &1 = 5, &2 = 2, &3 = 2.

Далее надо найти собственные векторы. Я делаю так:

(-2 -1  1) (x)
(-1  0 -1) (y) = 0
( 1 -1 -2) (z)

Получается система уравнений:

-2х - y + z = 0
-1x + 0y - z = 0
x - y - 2z = 0

Преобразую:

2x + y - z = 0
x +  z = 0
x - y - 2z  = 0

И дальше не знаю что делать, ибо методу определителей получается, что все коэффициенты равны нулю. Я помню о приеме представления одного из коэффициентов единицей, но незнаю как его применить. Или может я вообще неправильно ищу собственные векторы?

Прошу помощи

Автор: Aloha 23.11.2006, 23:16

I, GyoZ

Ты немного ошибся в нахождении собственных значений:

Цитата

Приводим это к следующему путем вынесения за скобки и т.д.:
(5 - &)(&^2 - 4& + 4).

На самом деле должно получиться такое характеристическое уравнение:

Код

-λ^3 + 11*λ^2 - 36*λ + 36 = 0

и собственные значения будут равны:

Код

λ1 = 6; λ2 = 3; λ3 = 2

Собственные векторы будут равны:

Код


       для λ1 = 6:   1
                    -2
                     1

       для λ2 = 3:   1
                     1
                     1

       для λ3 = 2:   1
                     0
                    -1

Т.к. определитель матрицы

Код

det(A - λE)

равен 0 для собственных значений, то система уравнений для собственного вектора Xi, соответствующего собственному значению λi будет иметь множество решений. Одно из них можно выбрать например так: положить координату x собственного вектора равной 1, и для этого случая найти координаты y и z.

Автор: cardinal 23.11.2006, 23:25

(5 - &)(&^2 - 4& + 4)
Это неправильно! Так как & не делает выражение detA (A - &E) равным нулю...

Добавлено @ 23:28

Цитата(Aloha @ 23.11.2006, 21:16

)

Ты немного ошибся в нахождении собственных значений

А ошибся потому, что первое решение, которое ты должен был получить это 2, т.к. уравнения такого типа решить без компера можно только подставив разные значения и получив первый ноль. Подставлять надо примерно в порядке 1, -1, 2, -2, 0.5, -0.5, 3, -3. Остальные варианты обычно не рассматривают (по крайней мере это не принято в школьных учебниках)...

Автор: Bangladesh 23.11.2006, 23:33

Aloha, а есть какой-нибудь способ решить без уравнения третьей степени?

я конспект просмотрел, там подобное решение:

Код


A = (5 2) 
      (4 3)

det(A - &E) = (5 - &)(& - 7) - 8
(5 - &)(& - 7) - 8 = 0
&^2 - 8& + 7 = 0
&1 = 1
&2 = 7

(4 2) (x)  } = 0
(4 2) (y)

Система:
4x + 2y = 0
4x + 2y = 0

Пусть y = 1 тогда x = -2

Собственным вектором соответствующим числу &1 = 1
u(вектор) = -2i + j
(-2;1)

что здесь находится?

Автор: Aloha 23.11.2006, 23:42

I, GyoZ

Степень характеристического уравнения в общем равна размерности матрицы.
В твоем втором примере находятся с.з. для матрицы, размерность которой = 2, и поэтому получается квадратное уравнение.
Можно методом подбора (см. cardinal) найти первое (наименьшее) собственное значение (в нашем случае λ = 2), а затем пробовать записать характеристическое уравнение в виде:

Код

-λ^3 + 11*λ^2 - 36*λ + 36 = (λ - 2)*(a*λ^2 + b*λ + c)

и остальные с.з. находить, уже решая квадратное уравнение.

Автор: Bangladesh 23.11.2006, 23:56

а можно ли каким-нибудь образом из найденных собственных векторов составить некоторый базис?

Автор: Mal Hack 24.11.2006, 00:06

Подставляеш лямды в систему A-&E получаешь ортонормированный базис. Полуаеш векторы.
Потом как-то матрицей получешь ортонормированный базис

Автор: Aloha 24.11.2006, 00:18

Если среди собственных значений нет вырожденных (т.е. равных друг другу) то найденные собственные векторы уже составляют базис, т.к. они линейно независимы. Другое дело, что этот базис может оказаться ненормированным.

Для начала проверим, ортогональны ли векторы. Для этого найдем попарно их скалярные произведения:

Код

(X1•X2) = 1•1 + (-2)•1 + 1•1 = 0
(X1•X3) = 1•1 + (-2)•0 + 1•(-1) = 0
(X2•X3) = 1•1 + 1•0 + 1•(-1) = 0

Т.к. скалярные произведения равны 0 то собственные векторы ортогональны.

Нормируем в твоем примере полученные собственные векторы. Возьмем первый:

Код

 для λ1 = 6:   1
              -2
               1

Найдем его норму (длину):

Код

       _________________    _
|X1|= √ 1² + (-2)² + 1²  = √6

и поделим координаты вектора на найденную длину:

Код

 для λ1 = 6: X1=    1/√6
                   -2/√6
                    1/√6

Точно также для второго собственного вектора получим:

Код

 для λ2 = 3: X2=    1/√3
                    1/√3
                    1/√3

и для третьего:

Код

 для λ3 = 2: X3=    1/√2
                    0
                   -1/√2

В результате получим ортонормированный базис.
Если есть вопросы, пиши в личку, с удовольствием отвечу.