Версия для печати темы Нажмите сюда для просмотра этой темы в оригинальном формате

Форум программистов > Центр помощи > [Алгебра]. Матричное уравнение

Автор: studentka1981 30.11.2008, 11:58

Добрый день. Помогите решить матричное уравнение.  АХ=В.       2  -1  0                             -3  0  2 А=  1   1  2                    В=    -2   1 -2       3  -1  3                             4  -1  1 Всеэти данные указаны в круглых скобках.      Спасибо.

Автор: Aloha 30.11.2008, 13:39

A‾¹АХ = A‾¹В    →   Х=A‾¹В  где  A‾¹  обратная матрица: A‾¹ =   5/7   3/7  -2/7  3/7   6/7  -4/7 -4/7  -1/7   3/7 Х =  -29/7   5/7   2/7 -37/7  10/7 -10/7  26/7  -4/7  -3/7

Автор: darkart 30.11.2008, 13:46

Легче объяснить, чем записать Цитата Дано: AX = B A = 2 -1 0 1  1 2 3 -1 3 B =  -3  0  2 -2  1 -2  4 -1  1 A - невырожденная матрица, detA<>0, следовательно существует обратная (A^-1) A*(A^-1) = (A^-1)*A = I(единичная матрица) Домножим обе части уравнения AX = B слева на (A^-1), получим: (A^-1)AX = (A^-1)B <=> IX = (A^-1)B <=> X = (A^-1)B т.е. для того чтобы решить уравнение, достаточно найти (A^-1) и вычислиь произведение (A^-1)B Обратная матрица (A^-1) = (1 / detA) * CT( CT - транспонированная матрица дополнений или союзная матрица, detA - определитель матрицы A ) detA = (-1)^(1+1) * 2 * (3+2) + (-1)^(1+2+1)(3-6) = 10 - 3 = 7 1 / detA = 1/7 C =  (-1)^(1+1)*(3+2), (-1)^(1+2)*(3-6), (-1)^(1+3)*(-1-3) (-1)^(2+1)*(-3-0), (-1)^(2+2)*(6-0), (-1)^(2+3)*(-2+3) (-1)^(3+1)*(-2-0), (-1)^(3+2)*(4-0), (-1)^(3+3)*(2+1) =  5  3 -4  3  6 -1 -2 -4  3 CT(транспонирование - строки и столбцы меняются местами):  5  3 -2  3  6 -4 -4 -1  3 (A^-1) =( 1 / detA  ) * CT = (1 / 7)  * CT =  5/7  3/7 -2/7  3/7  6/7 -4/7 -4/7 -1/7  3/7 Можно выполнить проверку: A * (A^-1) = (A^-1) * A = I(единичной), если проверка удалась, то матрица (A^-1) найдена верно. Далее подставляем (A^-1) в уравнение: X = (A^-1)B  5/7  3/7 -2/7    -3  0  2  3/7  6/7 -4/7 * -2  1 -2 =  -4/7 -1/7  3/7     4 -1  1 -15/7-6/7-8/7,    3/7+2/7, 10/7-6/7-2/7 -9/7-12/7-16/7,  6/7+4/7, 6/7-12/7-4/7  = 12/7+2/7+12/7, -1/7-3/7, -8/7+2/7+3/7 -29/7,  5/7,    2/7 -37/7,  10/7, -10/7  26/7, -4/7,  -3/7 X найдена Выполнив проверку AX = B, узнаем правильно ли найдена X. Упс, опередили

Автор: kokoshko 20.1.2010, 16:47

добрый вечер всем кто сможет мне как-нибудь помочь с примером решить матричное уравнение:       2  -3  1                   9  7  6       2    0   -2       4  -5  2    *   Х    *  1  1  2  =  18  12   9       5  -7  3                   1  1  1       23  15  11 все значения в скобках есть формула:    Х=А^-1 * C * B^-1             Добавлено через 6 минут и 13 секунд добрый вечер всем кто сможет мне как-нибудь помочь с примером решить матричное уравнение:       2  -3  1                   9  7  6       2    0   -2       4  -5  2    *   Х    *  1  1  2  =  18  12   9       5  -7  3                   1  1  1       23  15  11 все значения в скобках есть формула:    Х=А^-1 * C * B^-1

Автор: darkart 22.1.2010, 12:32

Все формулы, есть. В чем проблема? Цитата 2 -3 1       9 7 6    2  0 -2 4 -5 2 * X * 1 1 2 = 18 12  9 5 -7 3       1 1 1   23 15 11    A   * X *   B   =     C I) A * X * B = C (A^-1) * A * X * B * (B^-1) = (A^-1) * C * (B^-1) X = (A^-1) * C * (B^-1) II) Находим (A^-1) detA = 2 * (-15 + 14) + 3 * (12 - 10) +(-28+25) = -2 + 6 - 3 = 1 CA - матрица дополнений для A      -1 -2 -3 CA =  2  1 -1      -1  0  2 (CA)T - транспонированная CA         -1  2 -1 (CA)T = -2  1  0         -3 -1  2 (A^-1) = 1/detA * (CA)T = 1 * (CA)T = (CA)T          -1  2 -1 (A^-1) = -2  1  0          -3 -1  2 II) Находим (B^-1) detB = 2 * (1-2) = -2 CB - матрица дополнений для B      -1   1  0 CB = -1   3 -2       8 -12  2 (CB)T - транспонированная CB         -1 -1   8 (CB)T =  1  3 -12          0 -2   2 (B^-1) = 1/detB * (CB)T = 1/(-2) * (CB)T = (-1/2) * (CB)T           1/2  1/2 -4 (B^-1) = -1/2 -3/2  6            0    1  -1 IV) Вычисляем              -1  2 -1    2  0 -2   11  9  9 (A^-1) * C = -2  1  0 * 18 12  9 = 14 12 13              -3 -1  2   23 15 11   22 18 19 V) Находим X Умножаем полученную матрицу на (B^-1)     11  9  9    1/2  1/2 -4   1 1 1 X = 14 12 13 * -1/2 -3/2  6 = 1 2 3     22 18 19     0    1  -1   2 3 1     1 1 1 X = 1 2 3     2 3 1 VI) Проверка 2 -3 1   1 1 1   9 7 6    2  0 -2 4 -5 2 * 1 2 3 * 1 1 2 = 18 12  9 5 -7 3   2 3 1   1 1 1   23 15 11 Вычисления не расписаны - долго.

Powered by Invision Power Board (http://www.invisionboard.com)
© Invision Power Services (http://www.invisionpower.com)