Версия для печати темы Нажмите сюда для просмотра этой темы в оригинальном формате

Форум программистов > Центр помощи > [Диффур]Общий интеграл и общее решение

Автор: daranton 30.11.2010, 05:12

Здравствуйте! Помогите пожалуйста найти общий интеграл и общее решение дифференциального уравнения второго порядка? Вот условие: x*y'' = y'*ln(y'/x). Спасибо Всем!

Автор: Фантом 1.12.2010, 00:31

Сделайте замену z=y'/x, после этого уравнение легко сводится к уравнению с разделяющимися переменными, причем просто интегрируемому.

Автор: daranton 1.12.2010, 03:41

Rodman,  Это как? Добавлено через 1 минуту и 21 секунду Фантом,  А как Вы его решили? Покажите плиззз....? Добавлено через 1 минуту и 52 секунды Google,  А это тут причём?

Автор: daranton 1.12.2010, 14:29

Google,  А бесплатно поможете? Latex на форуме включен для формул? Спасибо!

Автор: Фантом 1.12.2010, 23:18

TeX движок форума не понимает, поэтому не покажу   - слишком неудобно. Попробуйте все-таки последоватать моему совету - там дальше все элементарно до неприличия.

Автор: daranton 1.12.2010, 23:36

Фантом,  Делаем замену z=y'/x... Что будет дальше? Очень нужно. Спасибо!

Автор: daranton 3.12.2010, 17:15

Фантом,  Ответьте пожалуйста?

Автор: Elerond 3.12.2010, 17:40

y''=(y'/x)*ln(y'/x) y'=z z'=zln(z) dz/(z*ln(z))=dx далее интегрируешь int(dz/(z*ln(z)))=int(dx) int(d(ln(z))/ln(z))=x+c ln(ln(z))=x+c ln(z)=e^(x+c) ln(z)=ce^(x) //здесь уже другое "с" z=e^(ce^(x) ) y'=e^(ce^(x) )  найти интеграл    если ни где не ошибся... но если и ошибся то суть ясна

Автор: daranton 5.12.2010, 23:06

Elerond,  А  какой ответ у Вас получился?

Автор: Elerond 6.12.2010, 00:27

daranton, если честно я его не решал, у меня есть подозрение что тут надо копать в сторону Ei(x)... странно, конечно что такой сложный ответ, может все же я ошибся в ходе решения

Автор: daranton 6.12.2010, 03:20

Elerond,  Не могли бы Вы написать полное решение пожалуйста? Очень нужно это сейчас. Спасибо!

Автор: Elerond 6.12.2010, 10:11

Как я думал, допустил грубую ошибку   ... (пятница, вечер...) Исправил y''=(y'/x)*ln(y'/x) y'=t(x) - первая замена  t'=(t/x)*ln(t/x) t/x=z - вторая замена t=z*x, t'=z'x+z подставим: z'*x+z=z*ln(z) z'=z*(ln(z)-1)/x dz/(z*(ln(z)-1))=(1/x)dx далее интегрируешь int(dz/(z*(ln(z)-1)))=int(dx/x) int(d(ln(z)-1)/(ln(z)-1))=int(dx/x) ln(ln(z)-1)=ln(x)+c ln(z)-1=c*x ln(z)=c*x+1 z=e^(c*x+1)  t/x=e^(c*x+1) t=x*e^(c*x+1) y'=x*e^(c*x+1) y=e*(e^(c*x+1))*(c*x-1)/(c*c)+k ответ вроде верный, подставил в исходное уравнение все сошлось

Автор: daranton 7.12.2010, 00:32

Elerond,  Наверно сразу можно сделать только одну замену и такую t = y'/x??? У меня получилось так ln(z) + С = С + x + 1, ПОЧЕМУ у Вас ln(z)=c*x+1 Напишите пожалуйста как получили и что сделали если можно? y'=x*e^(c*x+1) Далее Вы опять разделили переменные y' = dy/dx, тогда не понимаю как Вы получили именно такой вот ответ напишите пожалуйста действия все подробно и преобразования? y=e*(e^(c*x+1))*(c*x-1)/(c*c)+k Движок И Latex и uSR не понимает, А Вы давно на форуме? А Вы умеете находить общий интеграл данного уравнения? Если да, то объясните пожалуйста как его найти и что получим, мне это позарез нужно очень? А Вы умеете находить общее решение линейных уравнений (диф) второго порядка? Если да, то помогите пожалуйста? Спасибо Вам Огромноееееее!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Автор: Elerond 7.12.2010, 11:45

Заменить можно было и сразу, просто я хотел показать более прозрачно, и было понятно что происходит. можно и так z=y'/x тогда y''=z'*x+z получим z'*x+z=z*ln(z) - то есть тоже самое, при обратном преобразовании аналогично теперь почему cx а не c+x, c - это константа и она может быть любой, в диффурах ее численное значение не важно, поэтому: ln(x)+c = ln(x)+ln©=ln(x*c) - тут важно понять что с и ln( c ) - константы, и поэтому я не стал заморачиваться и придумывать новую константу, а оставил просто "с" , вы можете писать c1, c2 ... это в данном случае роли не играет, логичнее было бы с1=ln( c ) - но это мелочи Цитата(daranton @  7.12.2010,  00:32 ) y'=x*e^(c*x+1) Далее Вы опять разделили переменные y' = dy/dx, тогда не понимаю как Вы получили именно такой вот ответ напишите пожалуйста действия все подробно и преобразования? тут я ни чего не делил, а просто взял интеграл, что бы найти y - который и есть общее решение. Цитата(daranton @  7.12.2010,  00:32 ) y=e*(e^(c*x+1))*(c*x-1)/(c*c)+k а это получено при помощи метода интегрирования по частям: udv=uv-int(vdu) в нашем случае: u=x, dv=e^(c*x+1) откуда du=dx, v=(e^(c*x+1))/c  подставив получаем y=(e^(c*x+1))*(c*x-1)/(c*c)+c1 кстати, я там случайно лишнее "e" добавил (сложно тут формулы печатать) Общий интеграл будет: y-(e^(c*x+1))*(c*x-1)/(c*c)+c1=0 Цитата(daranton @  7.12.2010,  00:32 ) А Вы давно на форуме? дата регистрации 18.6.2007 Цитата(daranton @  7.12.2010,  00:32 ) А Вы умеете находить общий интеграл данного уравнения? находится в виде F(y, x, C)=0    в нашем случае: y-(e^(c*x+1))*(c*x-1)/(c*c)+c1=0 Цитата(daranton @  7.12.2010,  00:32 ) А Вы умеете находить общее решение линейных уравнений (диф) второго порядка? так это и есть решение уравнения второго порядка y=(e^(c*x+1))*(c*x-1)/(c*c)+c1  а вообще, когда то в студенчестве все это решал

Автор: daranton 8.12.2010, 01:55

Elerond,  Цитата при обратном преобразовании аналогично В этом месте не понимаю Вас, объясните пожалуйста что Вы имеете в виду???    Цитата ln(x)+c = ln(x)+ln©=ln(x*c) - тут важно понять что с и ln( c ) - константы, и поэтому я не стал заморачиваться и придумывать новую константу, а оставил просто "с" , вы можете писать c1, c2 ... это в данном случае роли не играет, логичнее было бы с1=ln( c ) - но это мелочи А вы тут константу логарифмируете или интегрируете, раз пишете ln(C*x) или я не прав??? Цитата а это получено при помощи метода интегрирования по частям: udv=uv-int(vdu) в нашем случае: u=x, dv=e^(c*x+1) откуда du=dx, v=(e^(c*x+1))/c  подставив получаем y=(e^(c*x+1))*(c*x-1)/(c*c)+c1 Объясните пожалуйста подробнее этот метод по частям не понимаю, если можно формулами? Цитата находится в виде F(y, x, C)=0    в нашем случае: y-(e^(c*x+1))*(c*x-1)/(c*c)+c1=0 И всё-таки, чтобы найти общий интеграл какой логикой Вы пользовались, опишите пожалуйста? Спасибо!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Автор: Elerond 8.12.2010, 12:30

daranton, у меня сейчас туго со временем... Цитата(daranton @  8.12.2010,  01:55 ) Цитата при обратном преобразовании аналогично В этом месте не понимаю Вас, объясните пожалуйста что Вы имеете в виду??? можно просто забить... я хотел сказать что нет разницы в подстановках Цитата(daranton @  8.12.2010,  01:55 ) Цитата ln(x)+c = ln(x)+ln©=ln(x*c) - тут важно понять что с и ln( c ) - константы, и поэтому я не стал заморачиваться и придумывать новую константу, а оставил просто "с" , вы можете писать c1, c2 ... это в данном случае роли не играет, логичнее было бы с1=ln( c ) - но это мелочи А вы тут константу логарифмируете или интегрируете, раз пишете ln(C*x) или я не прав??? Тут я просто представил ln(x)+c=ln(cx), есть такое правило в арифметике ln(ab)=ln(a)+ln(b) Цитата(daranton @  8.12.2010,  01:55 ) Цитата а это получено при помощи метода интегрирования по частям: int(udv)=uv-int(vdu) в нашем случае: u=x, dv=e^(c*x+1) откуда du=dx, v=(e^(c*x+1))/c  подставив получаем y=(e^(c*x+1))*(c*x-1)/(c*c)+c1 Объясните пожалуйста подробнее этот метод по частям не понимаю, если можно формулами? Найти в интернете это очень не сложно, информации много по интегрированию по частям, тем более формулу я написал: int(udv)=uv-int(vdu), и даже замены которые сделал, правда опять забыл знак интеграла (поправил) Цитата(daranton @  8.12.2010,  01:55 ) Цитата находится в виде F(y, x, C)=0    в нашем случае: y-(e^(c*x+1))*(c*x-1)/(c*c)+c1=0 И всё-таки, чтобы найти общий интеграл какой логикой Вы пользовались, опишите пожалуйста? Просто привел к такому виду переносом всех неизвестных в одну сторону...

Автор: daranton 9.12.2010, 03:28

Elerond,     Спасибо! Добавлено через 5 минут и 46 секунд Elerond,  Цитата Найти в интернете это очень не сложно, информации много по интегрированию по частям, тем более формулу я написал: int(udv)=uv-int(vdu), и даже замены которые сделал, правда опять забыл знак интеграла (поправил) Где Вы его забыли? Напишите пожалуйста подробно, если можно взятие такого интеграла по частям? Очень благодарен Вам!

Автор: Elerond 9.12.2010, 09:56

Цитата(daranton @  9.12.2010,  03:28 ) Где Вы его забыли? int(udv)=uv-int(vdu) - надо (udv)=uv-int(vdu) - было

Автор: daranton 9.12.2010, 10:06

Elerond,  Аха,...вот оно что! А как Вы взяли такой интеграл по заданию? Покажите пожалуйста, если Вам это нетрудно? Спасибо!

Автор: Elerond 9.12.2010, 10:24

Цитата(Elerond @  8.12.2010,  12:30 ) в нашем случае: u=x, dv=e^(c*x+1) откуда du=dx, v=(e^(c*x+1))/c  то есть, int(x*e^(c*x+1) )=x*(e^(c*x+1))/c-int((e^(c*x+1))dx/c)=x*(e^(c*x+1))/c-(e^(c*x+1))/(c*c)+c1=(e^(c*x+1))(x*c-1)/(c*c)+c1

Автор: daranton 9.12.2010, 10:29

Elerond,  Оооооо....Спасибо!

Автор: daranton 11.12.2010, 04:49

Elerond,  теория утверждает  d(u*v) = du * v + u * dv  интеграл (u * dv) = интеграл d ( u * v) - интеграл (du * v)  интеграл (u * dv) = ( u * v) - интеграл (du * v) + const  что касается данного примера, то  d( x * e^(C1*x+1) ) = d x * e^(C1*x+1) + x *d( e^(C1*x+1) )  d( x * e^(C1*x+1) ) = d x * e^(C1*x+1) + x * e^(C1*x+1) * C1*dx  x * e^(C1*x+1) * C1*dx = d( x * e^(C1*x+1) ) - d x * e^(C1*x+1)  интеграл (x * e^(C1*x+1) * C1*dx) =интеграл d( x * e^(C1*x+1) ) - интеграл d x * e^(C1*x+1)  интеграл (x * e^(C1*x+1) *dx) =1/С1 * интеграл d( x * e^(C1*x+1) ) - 1/С1*интеграл d x * e^(C1*x+1)  интеграл (x * e^(C1*x+1) *dx) =1/С1 * ( x * e^(C1*x+1) ) - 1/С1*1/С1 * e^(C1*x+1) + const если подинтегральное выражение состоит из 2 множителей, то есть смысл интегрировать по частям, если  1) ты можешь взять производную одного множителя и полученное произведение легко интегрируется  2) другой множитель легко интегрируется  тогда первый множитель = U  тогда второй множитель = dV  и пользуемся формулой интегрирования по частям  ответ искомый интеграл равен 1/С1 * ( x * e^(C1*x+1) ) - 1/С1*1/С1 * e^(C1*x+1) + const Исправляй ошибку пожалуйста? Спасибо!

Автор: Elerond 12.12.2010, 23:51

daranton, где ошибка то? Добавлено через 2 минуты и 39 секунд И зачем так много писанины в решении, достаточно воспользоваться конечной формулой

Автор: daranton 13.12.2010, 00:33

Elerond,  У Вас (e^(c*x+1))(x*c-1)/(c*c)+c1, а нужно 1/С1 * ( x * e^(C1*x+1) ) - 1/С1*1/С1 * e^(C1*x+1) + const

Автор: Elerond 13.12.2010, 14:26

daranton, арифметика, 9-й класс, вынеси за скобки и будет так же

Автор: daranton 14.12.2010, 05:43

Elerond,  Спасибо!

Powered by Invision Power Board (http://www.invisionboard.com)
© Invision Power Services (http://www.invisionpower.com)