| Версия для печати темы
Нажмите сюда для просмотра этой темы в оригинальном формате |
| Форум программистов > Центр помощи > [Матан] Доказать, что cos(x) непрерывна |
| Автор: Fedor 4.1.2005, 16:48 |
| САБЖ. |
| Автор: podval 4.1.2005, 17:03 |
| Тема перенесена из раздела "Алгоритмы". |
| Автор: neutrino 4.1.2005, 23:22 |
| Кхмм.... Косинус? Это ведь элементарная функция, а все они непрерывны... Можно разложить в бесконечный ряд Тейлора, получится полином а он непрерывен по определению. Странное задание. Можно еще попробовать выразить его через экспоненты от комплексной переменной (cos(z)=(exp(i*z)+exp(-i*z))/2), но это не поможет, т.к. експонента от комплексной переменной определена через косинус: exp(x+yi) = exp(x)(cos(y)+i sin(y)). |
| Автор: maxim1000 4.1.2005, 23:50 |
| для этого нужно ответить на вопрос: а что такое cos(x)? а точнее нужно сказать, как задана функция (через ряд, геометрически, еще как-нибудь) |
| Автор: cybear 5.1.2005, 01:55 |
| ну можно по теореме об обратной ф-ии просто ;) |
| Автор: Fedor 5.1.2005, 08:24 | ||||
функция
а разве cos(x) является к чему-то обратной функцией? |
| Автор: En_t_end 5.1.2005, 09:00 |
| cos(x) - непрерывна и бесконенечно длинна относительно оси 0y. |
| Автор: Fedor 5.1.2005, 09:45 | ||||
вот это и нужно доказать
первый раз сталкиваюсь с таким понятием |
| Автор: podval 5.1.2005, 10:16 |
| Видимо, имелась в виду бесконечная область определения. |
| Автор: maxim1000 5.1.2005, 10:23 | ||
я имел в виду, как она вводится при доказательстве "общеизвестных" фактов есть одна проблема: нельзя пользоваться всеми известными свойствами функции, т.к. некоторые могут быть выведены из того, что нам требуется доказать, а значит еще не доказаны пример: функция exp(x+i*y) на комплексных числах совсем не вводится в виде exp(x)*(cos(y)+i*sin(y)) сначала вводится экспонента на действительных числах, а потом она аналитически продолжается на всю плоскость, и только потом берется exp(x)*(cos(y)+i*sin(y)) и доказывается, что аналитически продолженная функция будет совпадать с этим выражением, причем одним из основных фактов, используемых при доказательстве, является как раз непрерывность функций exp,sin,cos. вот и получается, что если, к примеру нам задали функцию cos(x) через геометрию, то мы не можем просто воспользоваться выражением експоненты комплексного числа: для этого его нужно будет доказать в обход непрерывности cos так что предлашаю забыть об общеизвестной функции cos и объяснить, что под ней будет пониматься в данном конкретном случае |
| Автор: En_t_end 5.1.2005, 10:41 |
| "Видимо, имелась в виду бесконечная область определения. " Да, а это, насколько я знаю, тоже самое, что и "непрерывна"... |
| Автор: Fedor 5.1.2005, 12:01 |
| Попробую тут описать как доказывал непрерывность синуса. Косинус должен аналогичным образом, но я не могу кое-чего понять. Жалко, сканера нет... Придется от руки писать... 1. Что такое непрерывность ф-ции в точке: ф-ция называется непрерывной в точке, если существуют и конечны предел справа и предел слева в этой точке, они равны и равны значению ф-ции в этой точке. Еще одно определение: ф-ция назвается непрерывной в точке a, если для каждого E больше нуля найдется d больше нуля такое что для всех x таких что 0<|x-a|<d выполняется |f(x)-f(a)|<E А теперь как доказывается: нужно по E найти d чтоб выполнялось второе определение SIN(X) Рассмотрим: |sinX-sinA| = 2|sin(X-A)/2| * |cos(X+A)/2| <= 2|sin(X-A)/2| < 2|(X-A)/2|=|X-A| Т.е. получаем |sinX-sinA| < |X-A| Если мы теперь примем d=E, то при |X-A| < d будет выполнятся |sinX-sinA| < E, что и доказывает непрерывность ф-ции sinX Значит, в доказательсве используется тот факт, что для 0<X<pi/2 выполняется sinX<X и из этого следует, что для любого X |sinX|<|X| ============================== Вот что значит попытаться объяснить другому. Пока писал, додумался как это делать для косинуса - ролностью аналогично. Я сильно тупил вчера. COS(X) Рассмотрим: |cosX-cosA| = 2|sin(X-A)/2| * |sin(X+A)/2| <= 2|sin(X-A)/2| < 2|(X-A)/2|=|X-A| Т.е. получаем |cosX-cosA| < |X-A| Если мы теперь примем d=E, то при |X-A| < d будет выполнятся |cosX-cosA| < E, что и доказывает непрерывность ф-ции cosX |
| Автор: maxim1000 5.1.2005, 12:25 | ||
если вспомнить историю с тем, как программист кипятит воду в чайнике, то можно было бы так: cos(x)=sin(90-x) - непрерывная... |
| Автор: neutrino 5.1.2005, 22:03 | ||
Упс  |
| Автор: Fedor 5.1.2005, 22:44 |
Ну у меня-то стояла задача доказать это... ну... естественным путем... мы как бы синус еще не доказывали  |
| Автор: AntonSaburov 6.1.2005, 13:33 |
| По идее если производная существует в любой точке (а для косинуса она существует) то функция непрерывная. |
| Автор: Fedor 6.1.2005, 13:39 |
| Производная определяется после непрерывности. |