У меня, на рабочем столе, есть папка сайт, в которой содержаться все файлы сайта. Файл index.html находиться сразу в этой папке. Когда я в index.html задаю путь вида ../Picture/screen1.jpg, то браузер, считает корневым каталогом не папку сайт, а рабочий стол. Абсолютный путь здесь не подойдет.
Как сделать, чтобы браузер считал корневым каталогом папку сайт? 

А где каталог Picture находится? Если в корневом каталоге, то путь следует изменить на ./Picture/screen1.jpg (убрать одну точку)
Если каталог Picture находится на рабочем столе, то все верно.
Да, и еще, посмотри, нет ли тега <base> в теле страницы. И если есть, то прочитай про него  

Удачи! 

Необходимо убрать одну точку.
Получится примерно такое:
 

А, все, ясно. То есть одна точка - это сдвиг на один уровень? 

Нет, одна точка - это текущий каталог.
Две точки - каталог верхнего уровня.