Допустим, есть у меня в базе данных много таблиц, набитых данными. Можно ли закачать содержимое этой базы данных в удаленную базу данных, конечно притом если я заранее знаю пароль и имя базы?

Простым INSERTом, так же можно через phpmyadmin и прочие системы администрирования.

если данных уж совсем дофигищи, то легче будет просто залить на нужный сервер сами фаилы с данными и описанием таблицы, потом восстановить индексы.