"Счастливым" считается число, сумма цифр в котором слева до середины равна сумме цифр справа до середины. Так, 123006 - "счастливое", т.к. 1+2+3=0+0+6, а 12306 - нет, т.к. 1+2<>0+6!
Необходим алгоритм определения количества "счастливых" чисел в заданном диапазоне. Например, необходимо определить сколько таких чисел встречается от 1234 до 56789 и т.п. Обычный перебор не подходит, так как количество разрядов в исходных данных может достигать 20 и более, а это длительный процесс.

Медленно, но универсально...
Анализируемое на "счастливость" число можно хранить в массиве, в котором каждому разряду выделяется своя отдельная ячейка этого массива. Количество разрядов в таком случае ограничивается памятью ЭВМ... Вот и перебирай себе спокойно любые комбинации...

ну, напрмер, что-то вроде этого:
фиксируем длину числа
фиксируем сумму первой половины цифр (соответственно и второй половины)
считаем сколькими разными комбинациями первой половины можно этого добиться
умножаем это число на количество комбинаций для второй половины
а потом делаем перебор по всем длинам чисел и суммам половинок, которые нас интересуют