Итак, надо доказать следующее :
Если в треугольнике серидины всех высот его лежат на одной прямой, то этот треугольник - прямоугольный.

Я бы может и доказал, но как все это рисовать?)))

Ну хотя бы мысли, а рисунок можно и в Paint'е набросать, а потом прикрепить...

Мысль такую могу дать(один из вариантов решения):

Докажем от обратного. Предположим, что треугольник ABC прямоугольный. Затем опустим высоты к сторонам треугольника. Т.к. треугольник прямоугольный, то 2 высоты сойдутся в вершине одного угла треугольника, допустим в C. Обозначим высоту из вершины C как CO. Разделим каждую высоту пополам, обозначив точки как A1, O1, B1. Нужно доказать, что полученые 3 точки лежат на 1-ой прямой. Проведем прямые A1O1 и O1B1. Докажем, что полученые треугольники CA1O1 и CO1B1 пропорциональны ABC. Так как прямые треугольника OCB CB и CO пропорциональны прямым треугольника CO1B1 CB1 и CO1(CB1/CB = CO1/CO = 1/2), то их противолежащие углы равны(угол B=B1 и угол O=O1), отсюда следует что третий угол тоже равен. Откуда следует, что треугольник OBC пропорционален треугольнику CO1B1, а так как треугольник OBC пропорционален ABC(Доказывается через равенство углов), то треуг. CO1B1 пропорционален ABC. Аналогичное доказательство для треуг. A1OC. Угол O1 треугольника CO1B1 равен 90 градусов( как свойство пропорциональных треугольников), угол O1 треугольника A1O1C тоже равен 90 градусам, отсюда следует, что AC - прямая, так как O1 CO1B1 + O1 A1O1C = 180 градусам, откуда следует, что точки A1, O1, B1 лежат на одной прямой.

Ну вроде все)) Надеюсь ты сможешь нарисовать тругольник по описалову))

Это сообщение отредактировал(а) <Spawn> - 16.5.2004, 20:17

Спасобо!

А вот и сама задача:
Серидины высот треугольника ABC лежат на одной прямой. Большая сторона треугольника равна 10 см. Чему равна наибольшая площадь этого треугольника?

P. S. Начинаем с самого начала, не смотря на первое сообщение. Т. Е. надо доказать, что больше нет таких треугольников, кроме прямоугольного, где все середины высот лежат на одной прямой.

э-э.. не совсем правильно...
(середины высот на одной прямой)=>(тр. прямоугольный)
(тр. прямоугольный)=>(середины высот на одной прямой)
в условии задачи надо было доказать первое утверждение, а было доказано второе (они, очевидно не одинаковы по смыслу)

рассмотрим тр. ABC, a,b,c - высоты, выходящие из соответствующих точек
пусть на прямой середины высот расположены в таком порядке: a,b,c (иначе переименуем вершины)
тогда положим тр. на сторону AC
проведем серединную линию, параллельную стороне AC (соединяет середины сторон AB и BC)
будем смотреть середины каких высот выше ее, ниже или лежат на ней
для этого надо рассмотреть три случая:
1. угол B тупой
2. угол B острый
3. угол B прямой

сразу заметим, что середина высоты b во всех случаях лежит точно на серединной линии
(1):
середина высоты a лежит выше серединной линии, т.к. конец высоты a лежит выше т.B
середина высоты c по тем же соображениям лежит выше т.B
это невозможно, т.к. середина высоты c тоже должна была бы лежать выше серединной линии
(2):
абсолютно те же слова, только "выше" надо заменить на "ниже"
(3): единственно возможный вариант
---
нутром чую, что если достроить несколько отрезков, решение задачи станет абсолютно очевидным...

согласен с maxim1000 : в рассуждениях <Spawn> не всё верно. (эх prolog'иста бы сюда, он бы вам ужо показал :=) )

верно замечено - то, что середина высоты будет лежать на средней линии треугольгика - в общем-то ключ к задаче.

setq И что же не верно покажи, мне интересно)) Я уже лет 5 как геометрией не занимался)))

Цитата

setq И что же не верно покажи, мне интересно)) Я уже лет 5 как геометрией не занимался)))

Цитата

(середины высот на одной прямой)=>(тр. прямоугольный) (тр. прямоугольный)=>(середины высот на одной прямой) в условии задачи надо было доказать первое утверждение, а было доказано второе (они, очевидно не одинаковы по смыслу)

тут дело не в геометрии, а в логике...

Это сообщение отредактировал(а) maxim1000 - 18.5.2004, 11:38

maxim1000 А ты знаешь что есть такой способ доказательства - "от обратного", когда начальные и конечные данные меняются местами? Результат один и тот же. Я могу и другим способом доказать(там кстати было написано, что это один из вариантов).

П.С. Но для того, что бы мое док-во было полным, его нужно лишь малость дополнить.

Это сообщение отредактировал(а) <Spawn> - 18.5.2004, 12:02

Цитата

есть такой способ доказательства - "от обратного", когда начальные и конечные данные меняются местами?

Каждая селедка - рыба. Но не каждая рыба - селедка. (галстук-селедка - не в счет).

На самом деле:

"Если А, то Б" эквивалентно "Если не Б, то не А".

Цитата

maxim1000 А ты знаешь что есть такой способ доказательства - "от обратного", когда начальные и конечные данные меняются местами? Результат один и тот же. Я могу и другим способом доказать(там кстати было написано, что это один из вариантов).

доказательство от обратного состоит в том, чтобы:
1. поменять местами высказывания
2. заменить их на противоположные
после применение этого метода к данной задаче нужно будет доказать, что:
если треугольник не прямоугольный, то середины его высот не лежат на одной прямой
...
плохо, что в школе не преподают формальной логики, тогда бы стало абсолютно понятно, откуда выводится метод доказательства от противного и другие методы, а также было бы меньше ошибок в их использовании...

[removed]

Это сообщение отредактировал(а) Akina - 18.5.2004, 12:20

maxim1000 Вижу ты плохо видишь написаное - я в своем посте оставил приписку

Код

П.С. Но для того, что бы мое док-во было полным, его нужно лишь малость дополнить.

то, что было представлено, - вообще доказательство совершенно другого факта
и честно говоря, я не представляю себе, как его можно использовать для решения исходной задачи...