Дерево строится по неким данным из БД. Допустим расскрыли несколько узлов, затем при следующим обращении нужно восстановить эу струкуру(Имя узла и id узла в БД) я знаю. Как тут можно выкрутиться?

Какую "'эту структуру"? Какие узлы раскрыты? Ну и запомните где-нибудь список открытых узлов (id).

Метрика является древесной, тогда и только тогда, когда любые 4 вершины являются деревом. Это однозначно задает место вставления в дерево

Да структуру дерева, все раскрытые узлы

Ага у меня web приложение, допустим захоже по адресу
http://localhost:/project/tree=?bla-bla
вот должно открыться все узлы до bla-bla.
Я думаю как:  зная id узла, получаем id узла к которому он относится и т.д. рекурсивно до верхнего узла!

ребят, он про элемент интерфейса "дерево" говорит!
скорее всего, какая-то библиотека на javascript, типа rdtree.

Добавлено через 6 минут и 19 секунд

ну, у тебя дерево формируется какой-то js библиотекой, верно? все правильно: на стороне сервера(РНР?) выбираешь id узлов будущего дерева всех родителей и формируешь javascript код, который после загрузки страницы развернет все эти узлы:

на будущее: размещай подобные вопросы в профильных разделах(РНР, Javascript), либо же давай полную информацию, с кодом и скриншотом.

skyboy, 
Пасибо, да тут дело не в языке, а в самой сути!