как сделать на своем сайте функцию, чтобы пользователи могли показывать свой рабочий стол другим пользователям?
Мне необходима информация о технологиях, которые мне помогут в организации данного сервиса. Кто-нибудь сталкивался с таким? Есть ли готовые решения, скрипты, которые я могу использовать?

Ни средствами Флекса, ни средствами ЭЙРа этого сделать нельзя. Смотри в сторону Java апплетов для сраницы

Для подобных манипуляций необходим некий драйвер. Ява, как раз может такое, согласен. На adobe air подобное можно реализовать, но используя промежуточный софт.