Один чел на форуме про J2ME спрашивал как рассчитать arccos, arcsin, ln и тд. т.к. их нет в классе Math. Я тоже задумался над этим вопросом и вспомнил первый курс , где меня учили вычислениям через ряды. Открыв пыльный толмуд по моёй любимой математике, я посмотрел на формулы разложения на ряды и задался вопросом неужели нет другого пути?

Так вот, как же сёйчас производят вычисления cos, sin... и др. функций.
Как это делают современные калькуляторы? Как это реализовано в процессоре?
Неужели ряды используют до сих пор? Если так, то кто-нибудь может напомнить формулу для определения заданной точности рядов?

Насколько я знаю в нормальных библиотеках строится таблица значений для sin/cos... для определенных аргументов(с достаточно маленьким шагом). При вычислении значения смотрится есть ли значение в таблице для такого аргумента, или для аргумента, sin/cos... которого не очень сильно отличается, если не находят, то ипользуя формулы sin(a+b)/sin(a-b) и тоже для cos нуходится требуемое значение.

Цитата

Как это реализовано в процессоре?

имхо тоже через таблицы

Цитата(yaja @ 8.4.2005, 18:20)

имхо тоже через таблицы

Какие таблицы??? Брадиса что-ли?
Даже если так, то откуда взялись таблицы?

Что такое таблицы Брадиса не знаю
Ну блин, заранее посчитали эти значения, реализовали его програмно, а затем зашили в схемы
Если честно, я не особо вкурсе по поводу

Цитата

Как это реализовано в процессоре?

Цитата(yaja @ 8.4.2005, 19:42)

заранее посчитали эти значения

В том то и дело, что я хочу узнать как они посчитали, да ещё с бешенной точностью.

Пардон не въехал сразу

Цитата

да ещё с бешенной точностью.

это ты имеешь ввиду максимум 8 знаков после запятой??
Ну т.к надо посчитать один раз, то можно использовать что-угодно для вычисления этих значений. Мона посчитать через ряды дающие быструю сходимость. Какие обычно используются я не знаю, но можно просто разложить функцию в ряд Тейлора и получится некоторый ряд(но наверное сходиться он будет долго). А вычисления в ряду продолжаешь до тех пор, пока получающееся значение отличается от предыдущего на нужную тебе величину(например, если нужна точность 1.e-5, то до тех пор, пока отличия составляют 5.e-6)

Я так и сделал. Только вот количество итераций сильно колеблется.

Код

public class Main {     public static void main(String[] args)      {         double x=Double.parseDouble(args[0]);         double etalon=Math.atan(x);         //         double y=x;         for(double n=1;n<=100000;n++)         {                 y+=Math.pow(-1,n)*Math.pow(x,2*n+1) / (2*n+1);                 System.out.println(y);                 if (Math.abs(etalon-y)<=0.0000001)                 {                         System.out.println("Количество итераций "+n);                         System.out.println("Эталонное значение функции "+etalon);                         return;                 }         }         System.out.println("n>100000");     } }

Например для:
x=0.3 n=5
x=0.5 n=8
x=0.7 n=16
x=0.9 n=51
x=0.999 n=3311
x=0.9999 n=23363

Как же процессор махом вычисляет значения с точностью double?

Это сообщение отредактировал(а) Vadim999 - 8.4.2005, 23:29

Вот что я нарыл после непродолжительного гугления: CORDIC и еще о том же
COordinate ROtation Digital Computer
Суть метода:
Поворот вектора (1, 0) на угол fi, чтобы вычислить sin(fi) и cos(fi)
Поворот сводится к операциям сложения и сдвига
N итераций для точности N бит

Вот пример кода вычисления синуса и косинуса с точностью 12 бит (чуть хуже 4 знаков после запятой):

Код

// downloaded (and modified by Kia) from  // www.execpc.com/~geezer/embed/cordic.c #include <stdio.h> #include <math.h> #define    AG_CONST    0.6072529350 #define    FXD(X)          ((long int)((X) * 65536.0)) typedef long int fixed; /* 16.16 fixed-point */ static const fixed Alpha[]={ FXD(45.0),   FXD(26.565), FXD(14.0362), FXD(7.12502),   FXD(3.57633), FXD(1.78991), FXD(0.895174),   FXD(0.447614),FXD(0.223811), FXD(0.111906),   FXD(0.055953),FXD(0.027977) }; int main(void){   fixed X, Y, CurrAngle;   unsigned i;   X=FXD(AG_CONST);  /* AG_CONST * cos(0) */   Y=0;            /* AG_CONST * sin(0) */   CurrAngle=FXD(28.027);   for(i=0; i < 12; i++){      fixed NewX;      if(CurrAngle > 0) {         NewX=X - (Y >> i);         Y+=(X >> i);         X=NewX;         CurrAngle -= Alpha[i]; }      else {         NewX=X + (Y >> i);         Y-=(X >> i);         X=NewX;         CurrAngle += Alpha[i];       } // if-else   } // for (i=…   printf("cos(28.027)=%6.4f, sin()=%6.4f\n",             X/65536.0, Y/65536.0); } // main

Не берусь утверждать, что в процессорах используется именно этот алгоритм, но похоже на то.

Реальный метод! Остаётся только додуматься, как сделать обратную операцию.

В документе, на который я дал ссылку, коротко описывается, как получить арктангенс. Кстати, вот еще подтверждение тому, что именно этот метод используется в аппаратных реализациях - в наборе инструкций x87 из обратных тригонометрических функций только арктангенс.
Вообще, Google дал массу ссылок, например:
FAQ по CORDIC и др.

Это сообщение отредактировал(а) Void - 10.4.2005, 11:27