Итак, судя по либам qt, у вас динамическая линковкая либ...
Значит, либу драйвера мускуля надо кидать на клиентской тачке в тоже место, где оно находится на тачке, где была сборка проги (у меня к примеру C:\Qt\plugins\sqldrivers, если буду переносить релизную версию, то на клиентской тачке тоже придется заводить такую директорию и туда скину драйвер мускуля)
Есть другие варианты, пересобрать qt как статическую и не будет такого геммора, еще можно заводить специальные файлы...
Рекомендую прочитать документацию троллей, раздел "Deployment" там все подробно описано.