Есть такой калькулятор https://planetcalc.ru/8326/  который выполняет арифметические операции по заданному модулю, записываю туда свои данные:

(1/155) % 4566

и он выдает ответ: 707, и этот ответ правильный т.к. в учебнике тот же ответ 707, но как он получился, как надо что на что делить и умножать и отнимать чтобы получить  в  ответе 707?

Это как надо поделить дробь (пол-яблока например) на целое число (на 7 братьев) и получить при этом целое число (каждому братцу по яблоку)?

Оказывается ИИ тоже не знает как в ответе получить 707.
Его рекомендации:

To obtain the result of 707 from the expression, you can follow these steps:
1. Calculate the value of, which is approximately 0. 0064516129032258064.
2. Multiply this value by 4566 to get the product, which is approximately 29. 45806451612903.
3. Find the whole number part of the product, which is 29.
4. Calculate the remainder by subtracting the whole number part from the product, which is approximately 0. 4580645161290313.
5. To obtain the result of 707, you should multiply the remainder by 155 and then subtract the result from 4566. This will give you the desired answer of 707.

И мои вычисления по его рецепту:

(1/155) % 4566 - это не одна сто пятьдесят пятая по модулю 4566.

Это число, обратное для 155 по модулю 4566 (т. е. такое число N, для которого (N*155)%4566 == 1).

Искусственному интеллекту есть ещё куда интеллектуализироваться )

Aa1, благодарю за нужный вектор!
Где то промелькнула запись что данную тему проходят в 6 классе)
Детям проще воспринять все эти вычеты и кольца, эквиваленты и всю модульную арифметику.
А число 707 уже появилось и в моем пк, ну вот прям 5 минут назад, и мне еще только предстоит понять ее и освоить.
Хотя такой функции которая в ответе выдала бы единственно правильный ответ 707 пожалуй до сих пор нет нигде, придется на свой страх и риск использовать самоделку. Запатентовать что ли ))))