Проблема в том, что на сервере, на котором необходимо выполнять скрипт отключена функция curl_exec(), поэтому отправить должным образом не удается. Возможно ли сформировать данные другими функциями курла и отпраивть их через сокет? или, что еще лучше есть ли сторонняя PHP библитека или класс, в виде скрипта, а не исполняемого модуля, способная заменить курл по части составления https запроса.

Формат запроса GET или POST не имеет значения, главное хоть как то передать данные в https. 

fsockopen('ssl://www.example.com', 443) ?  

А сможет ли она заменить непосредственно curl_exec()? 

Нет. Запрос придется подавать вручную, ответ разбирать также вручную.