VPF::[Математика] Решение матричного уравнения

SoWa

Дата 28.10.2006, 13:43 (ссылка)

(нет голосов)

Загрузка ...

Харекришна

Профиль
Группа: Комодератор
Сообщений: 2422
Регистрация: 18.10.2004

Репутация: 3
Всего: 74

Добрый день.
Задача такая: доказать, что матричное уравнение можно решить приведенным ниже способом
Например, уравнение:

Код


1 2 3           5 3
4 5 6  * x = 4 7
7 8 9           3 7

Построим расширенную матрицу

Код


1 2 3 | 5 3
4 5 6 | 4 7
7 8 9 | 3 7

Конечной цепочкой элементарных преобразований я приведу эту матрицу к виду, где слева от палочки будет единичная матрица. А решением будет то, что справа от палочки.

Так вот необходим доказать, что это будет решением.
Учитывать то, что мы не знаем понятия обратной матрицы и всего прочего(Желательно без них доказывать). Знаем только операции над матрицами и все. ну если без определний никак, то определите и их в решении, ладно?
Желательно доказывать без

СУВ, SoWa

Это сообщение отредактировал(а) SoWa - 28.10.2006, 13:45

--------------------

Всем добра smile

Kuvaldis

Дата 28.10.2006, 15:03 (ссылка)

(нет голосов)

Загрузка ...

механик-вредитель

Профиль
Группа: Участник Клуба
Сообщений: 1189
Регистрация: 16.6.2006
Где: Минск

Репутация: 32
Всего: 61

SoWa,
Вот в Word-e набросал

Это сообщение отредактировал(а) Kuvaldis - 28.10.2006, 15:05

Присоединённый файл ( Кол-во скачиваний: 6 )

SoWa.zip 4,15 Kb

--------------------

Помни - когда ты спишь, враг не дремлет
Спи чаще и дольше, изматывай врага бессоницей

SoWa

Дата 28.10.2006, 15:21 (ссылка)

(нет голосов)

Загрузка ...

Харекришна

Профиль
Группа: Комодератор
Сообщений: 2422
Регистрация: 18.10.2004

Репутация: 3
Всего: 74

А если матрица не квадратная, а допустим 3*2

Цитата

Так как у нас заданная матрица - невырожденная, то существует единственная обратная матрица и 2) матрицу А элементарными (!) преобразованиями можно привести к верхнетреугольному виду (вычитаем из всех строк первую, умноженную на подходящий коэффициент, чтобы в остальных строках получились нули в первом столбце, и т.д)

Аналогичным образом верхнетреугольную матрицу приведем к ДИАГОНАЛЬНОМУ ВИДУ. (вычитаем из всех верхних строк нижнюю, умноженную на подходящий коэффициент, и.т.д.)
Диагональную матрицу приводим к единичной матрице, путем деления строки на нужный коэффициент.

Теперь покажем, что сложение строк между собой, умножение строки на число (элементарные преобразования) можно заменить умножением слева (!) исходной матрицы на соответствующую матрицу

Вот это я не совсем понял. Это получение обратной матрицы? Не понимаю. Если можно, покажи на примере?

Это сообщение отредактировал(а) SoWa - 28.10.2006, 15:26

--------------------

Всем добра smile

Kuvaldis

Дата 28.10.2006, 15:25 (ссылка)

(нет голосов)

Загрузка ...

механик-вредитель

Профиль
Группа: Участник Клуба
Сообщений: 1189
Регистрация: 16.6.2006
Где: Минск

Репутация: 32
Всего: 61

SoWa,
если матрица не квадратная, то возможно или бесконечно много решений, или ни одного
Мне интересно, как ты будешь составлять единичную матрицу для неквадратной.

Если матрицы неквадратные, то такие уравнения решаются только методом Гаусса (исключение неизвестных)

Добавлено @ 15:30
SoWa,

Цитата

Вот это я не совсем понял. Это получение обратной матрицы? Не понимаю.

Доказательство метода, для которого ты просишь мат. обоснование, основан на НЕЯВНОМ использовании обратной матрицы. Т.е. мы строим обратную матрицу при помощи элементарных преобразований, а не вычислений миноров, дополнений, определителей
Но само использование ни обратной, ни каких либо других матриц не требует
Добавлено @ 15:34
1 вид элементарной матрицы

|1 0 0|      | 1 2 3 |        | 1  2   3   |
|0 2 0|  *  | 4 5 6 |  =    | 8 10 12  |
|0 0 1|      | 7 8 9 |         | 7   8   9 |

получилось умножение строки 2 на число 2

2 вид элементарной матрицы

|1 0 2|      | 1 2 3 |       | 15  18   21 |
|0 1 0|  *  | 4 5 6 |  =   |   4    5     6 |
|0 0 1|      | 7 8 9 |       |   7    8     9 |

получилось прибавление к первой строке  третьей, умноженной на 2

Добавлено @ 15:39
Еще раз:
идея в том, чтобы домножать слева правую и левую часть на такие матрицы, чтобы в результате вместо левой части осталась только матрица Х
Если умножать на матрицы вида 1 и 2, то эти умножения равносильны элементарным преобразованиям

Определение: обратная матрица А-1 для матрицы А, если
1 А * А-1 = Е
2. А-1 * А = Е

Это сообщение отредактировал(а) Kuvaldis - 28.10.2006, 15:56

--------------------

Помни - когда ты спишь, враг не дремлет
Спи чаще и дольше, изматывай врага бессоницей

Kuvaldis

Дата 28.10.2006, 16:50 (ссылка)

(нет голосов)

Загрузка ...

механик-вредитель

Профиль
Группа: Участник Клуба
Сообщений: 1189
Регистрация: 16.6.2006
Где: Минск

Репутация: 32
Всего: 61

Вкралась маленькая ошибочка
вышеизложенный способ и его доказательство применимы, когда матрица А - невырожденная.
В нашем случае она вырожденная (как это я так лоханулся, спасибо Aloha)

А раз так, то расширенная матрица

Код


1 2 3 | 5 3    
4 5 6 | 4 7    
7 8 9 | 3 7

просто не приведется к единичному виду слева
вычитаем из 2 и 3 строки первую, умноженную сооствественно на 4 и 7

Код


1  2   3  |     
0 -3  -6  |    
0 -6 -12 |

2 и 3 строки пропорциональны,матрица к единичной не приведется
Так как если она приводится к единичному виду, то это говорит о единственности решения
В нашем случае из-за невырожденности может получиться или 0 решений, или бесконечно много.

SoWa
Твоим способом уравнение не решается...

Для решения придется решить 2 уравнения методом Гаусса
Для определения 1 столбца решения

Код


1 2 3           5    
4 5 6  * x = 4    
7 8 9           3

Для определения 2 столбца решения

Код


1 2 3           3    
4 5 6  * x = 7    
7 8 9           7

Получается, что решений нет
первая система совместна (решений бесконечно много)

Код


1  2    3  |      5    
0 -3   -6  | =  -16
0  -6 -12 |     -32

Вторая система

Код


1  2    3  |       3    
0 -3   -6  | =  -5
0  -6 -12 |     -21

отсюда из двух последних строк (3-я и 2-я)
0 0 0 16
т.е. нет решений

Это сообщение отредактировал(а) Kuvaldis - 28.10.2006, 17:18

--------------------

Помни - когда ты спишь, враг не дремлет
Спи чаще и дольше, изматывай врага бессоницей

0 Пользователей читают эту тему (0 Гостей и 0 Скрытых Пользователей)
0 Пользователей:
« Предыдущая тема \| Центр помощи \| Следующая тема »