Модераторы: Poseidon
  

Поиск:

Ответ в темуСоздание новой темы Создание опроса
> [Алгебра] Нахождение собственных векторов 
:(
    Опции темы
Bangladesh
Дата 23.11.2006, 22:39 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка ... Загрузка ... Быстрая цитата Цитата


AsBest
***


Профиль
Группа: Завсегдатай
Сообщений: 1089
Регистрация: 4.9.2004
Где: Калининград

Репутация: нет
Всего: 17
Здравствуйте. Есть задача (вместо лянды буду ставить амперсанд (&)):

Найти собственные числа и векторы:
Код


Матрица:

      3 -1  1 
A =  -1  5 -1
      1 -1  3

Составляю характеристическое уравнение:
detA (A - &E) = (3 - &)(5 - &)(3 - &) + 1 + 1 - (3 - &) - (3 - &) - (5 - &).

Приводим это к следующему путем вынесения за скобки и т.д.:
(5 - &)(&^2 - 4& + 4).

Далее так:
5 - & = 0 => &1 = 5;
или 
&^2 - 4& + 4 = 0
D = 0 =>
&2,3 = 4/2 = 2;

Т.е. получается, что я нашел собственные числа &1 = 5, &2 = 2, &3 = 2.

Далее надо найти собственные векторы. Я делаю так:

(-2 -1  1) (x)
(-1  0 -1) (y) = 0
( 1 -1 -2) (z)

Получается система уравнений:

-2х - y + z = 0
-1x + 0y - z = 0
x - y - 2z = 0

Преобразую:

2x + y - z = 0
x +  z = 0
x - y - 2z  = 0

И дальше не знаю что делать, ибо методу определителей получается, что все коэффициенты равны нулю. Я помню о приеме представления одного из коэффициентов единицей, но незнаю как его применить. Или может я вообще неправильно ищу собственные векторы?



Прошу помощи 


--------------------
ок
PM MAIL WWW ICQ Skype   Вверх
Aloha
Дата 23.11.2006, 23:16 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка ... Загрузка ... Быстрая цитата Цитата


.
**


Профиль
Группа: Участник Клуба
Сообщений: 351
Регистрация: 14.5.2006

Репутация: 97
Всего: 165
 I, GyoZ

Ты немного ошибся в нахождении собственных значений:
Цитата
Приводим это к следующему путем вынесения за скобки и т.д.:
(5 - &)(&^2 - 4& + 4). 

На самом деле должно получиться такое характеристическое  уравнение:

Код
-λ^3 + 11*λ^2 - 36*λ + 36 = 0

и собственные значения будут равны:
Код
 λ1 = 6;  λ2 = 3; λ3 = 2 


Собственные векторы будут равны:
Код

       для λ1 = 6:   1
                    -2
                     1

       для λ2 = 3:   1
                     1
                     1

       для λ3 = 2:   1
                     0
                    -1 


Т.к. определитель матрицы
Код
 det(A - λE) 
равен 0 для собственных значений, то система уравнений для собственного вектора Xi, соответствующего собственному значению λi будет иметь множество решений. Одно из них можно выбрать например так: положить координату x собственного вектора равной 1, и для этого случая найти координаты y и z.




Это сообщение отредактировал(а) Aloha - 23.11.2006, 23:26
PM   Вверх
cardinal
Дата 23.11.2006, 23:25 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка ... Загрузка ... Быстрая цитата Цитата


Инженер
****


Профиль
Группа: Экс. модератор
Сообщений: 6003
Регистрация: 26.3.2002
Где: Германия

Репутация: 15
Всего: 99
(5 - &)(&^2 - 4& + 4)
Это неправильно! Так как & не делает выражение detA (A - &E) равным нулю...

Добавлено @ 23:28 
Цитата(Aloha @  23.11.2006,  21:16 Найти цитируемый пост)
Ты немного ошибся в нахождении собственных значений

А ошибся потому, что первое решение, которое ты должен был получить это 2, т.к. уравнения такого типа решить без компера можно только подставив разные значения и получив первый ноль. Подставлять надо примерно в порядке 1, -1, 2, -2, 0.5, -0.5, 3, -3. Остальные варианты обычно не рассматривают (по крайней мере это не принято в школьных учебниках)...


--------------------
Немецкая оппозиция потребовала упростить натурализацию иммигрантов
В моем блоге: Разные истории из жизни в Германии

"Познание бесконечности требует бесконечного времени, а потому работай не работай - все едино".  А. и Б. Стругацкие
PM   Вверх
Bangladesh
Дата 23.11.2006, 23:33 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка ... Загрузка ... Быстрая цитата Цитата


AsBest
***


Профиль
Группа: Завсегдатай
Сообщений: 1089
Регистрация: 4.9.2004
Где: Калининград

Репутация: нет
Всего: 17
Aloha, а есть какой-нибудь способ решить без уравнения третьей степени? 

я конспект просмотрел, там подобное решение:

Код

A = (5 2) 
      (4 3)

det(A - &E) = (5 - &)(& - 7) - 8
(5 - &)(& - 7) - 8 = 0
&^2 - 8& + 7 = 0
&1 = 1
&2 = 7

(4 2) (x)  } = 0
(4 2) (y)

Система:
4x + 2y = 0
4x + 2y = 0

Пусть y = 1 тогда x = -2

Собственным вектором соответствующим числу &1 = 1
u(вектор) = -2i + j
(-2;1)


что здесь находится? 



--------------------
ок
PM MAIL WWW ICQ Skype   Вверх
Aloha
Дата 23.11.2006, 23:42 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка ... Загрузка ... Быстрая цитата Цитата


.
**


Профиль
Группа: Участник Клуба
Сообщений: 351
Регистрация: 14.5.2006

Репутация: 97
Всего: 165
I, GyoZ

Степень характеристического уравнения в общем равна размерности матрицы.
В твоем втором примере находятся с.з. для матрицы, размерность которой = 2, и поэтому получается квадратное уравнение.
Можно методом подбора (см. cardinal) найти первое (наименьшее) собственное значение (в нашем случае λ = 2), а затем пробовать записать характеристическое уравнение в виде:
Код
-λ^3 + 11*λ^2 - 36*λ + 36 = (λ - 2)*(a*λ^2 + b*λ + c)

и остальные с.з. находить, уже решая квадратное уравнение.
PM   Вверх
Bangladesh
Дата 23.11.2006, 23:56 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка ... Загрузка ... Быстрая цитата Цитата


AsBest
***


Профиль
Группа: Завсегдатай
Сообщений: 1089
Регистрация: 4.9.2004
Где: Калининград

Репутация: нет
Всего: 17
а можно ли каким-нибудь образом из найденных собственных векторов составить некоторый базис?


--------------------
ок
PM MAIL WWW ICQ Skype   Вверх
Mal Hack
Дата 24.11.2006, 00:06 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка ... Загрузка ... Быстрая цитата Цитата


Мудрый...
****


Профиль
Группа: Участник Клуба
Сообщений: 9926
Регистрация: 15.2.2004

Репутация: 4
Всего: 261
Подставляеш лямды в систему A-&E получаешь ортонормированный базис. Полуаеш векторы.
Потом как-то матрицей получешь ортонормированный базис
PM ICQ   Вверх
Aloha
Дата 24.11.2006, 00:18 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка ... Загрузка ... Быстрая цитата Цитата


.
**


Профиль
Группа: Участник Клуба
Сообщений: 351
Регистрация: 14.5.2006

Репутация: 97
Всего: 165
Если среди собственных значений нет вырожденных (т.е. равных друг другу) то найденные собственные векторы уже составляют базис, т.к. они линейно независимы. Другое дело, что этот базис может оказаться ненормированным.

Для начала проверим, ортогональны ли векторы. Для этого найдем попарно их скалярные произведения:
Код
(X1•X2) = 1•1 + (-2)•1 + 1•1 = 0
(X1•X3) = 1•1 + (-2)•0 + 1•(-1) = 0
(X2•X3) = 1•1 + 1•0 + 1•(-1) = 0

Т.к. скалярные произведения равны 0 то собственные векторы ортогональны.

Нормируем в твоем примере полученные собственные векторы. Возьмем первый:
Код
 для λ1 = 6:   1
              -2
               1 
Найдем его норму (длину):
Код
       _________________    _
|X1|= √ 1² + (-2)² + 1²  = √6
и поделим координаты вектора на найденную длину:
Код
 для λ1 = 6: X1=    1/√6
                   -2/√6
                    1/√6 

Точно также для второго собственного вектора получим:
Код
 для λ2 = 3: X2=    1/√3
                    1/√3
                    1/√3 

и для третьего:
Код
 для λ3 = 2: X3=    1/√2
                    0
                   -1/√2 

В результате получим ортонормированный базис.
Если есть вопросы, пиши в личку, с удовольствием отвечу.


Это сообщение отредактировал(а) Aloha - 24.11.2006, 06:34
PM   Вверх
  
 Ответ в темуСоздание новой темы Создание опроса
Правила форума "Центр помощи"

ВНИМАНИЕ! Прежде чем создавать темы, или писать сообщения в данный раздел, ознакомьтесь, пожалуйста, с Правилами форума и конкретно этого раздела.
Несоблюдение правил может повлечь за собой самые строгие меры от закрытия/удаления темы до бана пользователя!


  • Название темы должно отражать её суть! (Не следует добавлять туда слова "помогите", "срочно" и т.п.)
  • При создании темы, первым делом в квадратных скобках укажите область, из которой исходит вопрос (язык, дисциплина, диплом). Пример: [C++].
  • В названии темы не нужно указывать происхождение задачи (например "школьная задача", "задача из учебника" и т.п.), не нужно указывать ее сложность ("простая задача", "легкий вопрос" и т.п.). Все это можно писать в тексте самой задачи.
  • Если Вы ошиблись при вводе названия темы, отправьте письмо любому из модераторов раздела (через личные сообщения или report).
  • Для подсветки кода пользуйтесь тегами [code][/code] (выделяйте код и нажимаете на кнопку "Код"). Не забывайте выбирать при этом соответствующий язык.
  • Помните: один топик - один вопрос!
  • В данном разделе запрещено поднимать темы, т.е. при отсутствии ответов на Ваш вопрос добавлять новые ответы к теме, тем самым поднимая тему на верх списка.
  • Если вы хотите, чтобы вашу проблему решили при помощи определенного алгоритма, то не забудьте описать его!
  • Если вопрос решён, то воспользуйтесь ссылкой "Пометить как решённый", которая находится под кнопками создания темы или специальным флажком при ответе.

Более подробно с правилами данного раздела Вы можете ознакомится в этой теме.

Если Вам помогли и атмосфера форума Вам понравилась, то заходите к нам чаще! С уважением, Poseidon, Rodman
 
0 Пользователей читают эту тему (0 Гостей и 0 Скрытых Пользователей)
0 Пользователей:
« Предыдущая тема | Центр помощи | Следующая тема »

Подписаться на тему | Подписка на этот форум | Скачать/Распечатать тему


 




[ Время генерации скрипта: 0.0524 ]   [ Использовано запросов: 22 ]   [ GZIP включён ]


Реклама на сайте     Информационное спонсорство

 
 По вопросам размещения рекламы пишите на vladimir(sobaka)vingrad.ru
Отказ от ответственности     Powered by Invision Power Board(R) 1.3 © 2003  IPS, Inc.