Тут мне дали решить задачу по математике. Не знаю с какой стороны к ней подойти.

Прямоугольник вписан в эллипс с осями 2a и 2b. Каковы должны быть стороны прямоугольника, чтобы его площадь была максимальной?

Задача находится в разделе дифференциалов и частных производных.

Please help!!!

Уранение эллипса:

(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1;

Пусть прямоугольник имеет крайне правую координату xp (т.е. его ширина равна 2x). Тогда его высота yp находится из уравнения (ведь его вершина принадлежит эллипсу):

(xp/a)^2 + (yp/2)^2 = 1;

Площадь прямогульника S равна:

S = xp*yp;

Выражаем yp через xp:

yp = b * sqrt(1-(xp/a)^2),

подставляем в выражение для S:

S = xp * b * sqrt(1-(xp/a)^2).

Ищем максимум этой функции:

S = f(xp)

на интервале [0,a]:

это что-то типа перевернутой параболы с макимумом, определяемым уравнением:

S'xp = 0 (производная по xp),

или:

S'xp = b * sqrt(1-(xp/a)^2) + xp * 1/2 * ( 1 / sqrt(1-(xp/a)^2) ) * ( - 2 * (xp / a) * (1/a) ) = 0,

откуда:

a^2 * b * ( 1-(xp/a)^2 ) - xp^2 * b = 0,

откуда:

xp = a / sqrt(2);

Теперь yp равно:

yp = b * sqrt( 1 - ( (a/sqrt(2)) / a )^2 ) = b / sqrt(2).


Короче, стороны примерно равны 2a/sqrt(2) и 2b/sqrt(2)

Это сообщение отредактировал(а) Chingachguk - 5.1.2004, 18:45

Модератор: Вряд ли Guest просил помощи в составлении алгоритма/программы, позволяющего отыскать решение, поэтому очень хотелось перенести во флейм. А то ведь попросят в "Алгоритмах" решить задачку по биологии или химии. Науки уважаемые, но все же - к порядку.

Ну вот, чел. хотел как лучше, а его не оценили.
Молодец Chingachguk !
Только надо было просто ответить, что стороны будут примерно равны 2a/sqrt(2) и 2b/sqrt(2) , а точное решение выслать по мылу (если нужно).
Отличный ответ.

podval почему бы и не решить, если не лень? Математика недалеко от программирования стоит, тебе ли не знать!
ЗЫ Chingachguk - молодец!

Считаем мелким нарушением