Посоветуйте метод для решения  системы линейных алгебраических уравнений. Совсем забыл написать, что СЛАУ мне надо решеть однородные. 

Это сообщение отредактировал(а) Ivanich - 23.3.2007, 14:59

метод Крамера
метод обратной матрицы
метод Гаусса
это то, что пришло в голову сходу. а вообще, я бы не гнушался воспользоваться поиском в Wikipedia(результаты поиска "системы линейных уравнений")

Вручную больше не решаю... 

А вообще, если тривиальная система, то можно и без методов, а просто "подставленим одного в другое"...

вот и я не хочу, мне надо написать программу. Писать буду на С++, теорию уже почитал и знаю что метод Гаусса и Крамера для этого мне не подойдут. Как я понял мне надо использовать итерационный метод(уже разобрался с методом простых итераций, но он не подходит, так как решать системы мне надо однородные). Подскажите начинающему  

Это сообщение отредактировал(а) Ivanich - 23.3.2007, 14:56

Ivanich, т.е. ссылки на список из 9 методов - слишком мало?!   

Ой-ли? А тот же метод Жордано-Гаусса не подходит? Не верю!
Чтобы на Cи такую программу написать, много времени не надо.

Это сообщение отредактировал(а) SoWa - 24.3.2007, 07:51

Гаусс - молодец был  И чем он не подходит?

Так метод Гаусса же дает серьезную погрешность, в отличии от методов итерации при вычисление СЛАУ на ЭВМ. Или я ошибаюсь?

Смотря как вычисляешь. если сохранять дроби, то погрешности не будет.

Ошибаешься. Есть системы для которых гаус вообще не дает погрешности. Есть системы для которых итеративные методы не сходятся.

Однородная СЛАУ имеет либо единственное тривиальное решение, либо бесконечное множество решений. Во втором случае описанные методы вообще неприменимы

почему же "неприменимы"? например, метод Крамера.
если "общий" определитель равен нулю и все "частные" определители тоже равны 0, то решений - бесконечное множество. 
если "общий" определитель равен нулю и хотя бі один частній определитель не  равен нулю, то решений нет; система несовместна
если "общий" определитель не равен нулю, то решение есть и оно единственно.
------------
единственное базовое ограничение для (известных мне) численных методов: количество переменных == количество уравнений в системе.

Ээ...
Сведение матрицы СЛАУ к ступенчатой форме хоть Гауссом, хоть итерационным каким методом...
В случае однородности СЛАУ некоторые строки -- нулевые; соответствующие этим строкам переменные выбираем в качестве свободных переменных, остальные строки дадут зависимости несвободных от свободных.

если так, то тогда как мне найти хотя бы одно нетривиальное решение?
и это тривиальное решение!
а что это за итерационные методы приведения матрицы СЛАУ к ступенчатой форме? (я пока знаю только про метод Гаусса)
если не трудно, можно пример(не совсем понял)

Ну да, немного попутал: в голове перемешалось с итерационными методами сведения матрицы (не СЛАУ) к треугольной/диагональной форме в задаче поиска собственных значений. Хотя, и те методы, в немного урезанном варианте, кажется, должны быть применимы: там же обнуляет элементы одно преобразование (строк например), а второе преобразование (столбцов) является компенсирующим для сохранения подобности матриц. А при решении СЛАУ подобности матриц не требуется, но требуется неизменность порядка столбцов, то есть компенсирующее преобразование можно опустить...

например получили такую треугольную матрицу:
1 1 1 0
0 1 0 1
0 0 0 0
0 0 0 0
Из последних 2-х уравнений -- x_3 и x_4 -- свободные переменные, 
из 2-го сверху уравнения x_2 = -x_4,
из 1-го x_1 = -x_2 - x_3, а с учетом того, что по x_2 уже решено, то x_1 = x_4 - x_3.
Таким образом, решение системы -- 2-мерная плоскость в 4-мерном пространстве: {x_2 = -x_4, x_1 = x_4 - x_3}
А чтобы не гадать, по каким переменным уже разрешено, а по каким еще нет, лучше сразу приводить максимальный ненулевой минор матрицы к диагональному виду:
1 0 1 -1
0 1 0  1
0 0 0  0
0 0 0  0

Кстати,


Так как писать собрался на C/C++ , ничего не может быть проще, чем скачать библиотеку на длинную арифметику:  gmp (советую), и проводить вычисления в дробях произвольной длины с абсолютной точностью.


Это сообщение отредактировал(а) Artemios - 26.3.2007, 18:27