Дана матрица NxM (N<M), представляет из себя N векторов (линейно независимых). Как найти оставшиеся N-M векторов так чтобы каждый был ортогонален предыдущим N векторам?

Задача построения ортогонального дополнения. Можете послать меня на соответствующий учебник линала - я просто щас вот ничего не нашел. Помню, что делал когда-то.

я уже не помню, как нам рассказывали на линейной алгебре, так что, возможно, моё решение не самое оптимальное, но можно попробовать:

1. ортогонализируем имеющиеся вектора
2. по одному начинаем добавлять базисные вектора (0,...,0,1,0,...0), при каждом добавлении ортогонализируем его со всеми предыдущими
какие-то вектора уйдут в ноль (иначе получили бы N+M линейно независимых векторов), их нужно убрать, оставшиеся, начиная с N+1-го, - базис дополнения

Это сообщение отредактировал(а) maxim1000 - 25.3.2008, 13:28

Я, пока катался в метро, придумал алгоритм. В нем не нужно менять предыдущие вектора (ортогонализовывать). Хочется услышать комментарии, не через ж*пу ли алгоритм.

Допустим есть 3 вектора в 7мерном пространстве. Нужно найти четвертый, так чтобы он был ортогонален предыдущим трём. Для этого будем искать его числа, решая систему уравнений:

Находим в матрице 7x3 3 столбца таким образом, чтобы они образовывали невырожденную матрицу. Допустим, это столбцы 1,4 и 7. 
Присваиваем x2,x3,x5,x6 по единице (например).

Решаем методом крамера. 

все. вектор готов.

если вспомнить, что алгоритм Гаусса - практически дословное описание алгоритма ортогонализации, то сведение к системе линейных уравнений, по сути, делает то же самое
только тут Крамер вместо Гаусса
как по мне, так лучше Гаусс - в общем случае он удобнее, а то для метода Крамера определители считать придётся

Меня какбы это не напрягает, потомукмо я юзаю линал-библотеки.)) 

А в жизни всегда предпочитал Крамера юзать, кстати.