Английский текст приводить не буду, а сразу переведу на русский.
Отрезок начинается и заканчивается в точках  с целыми координатами ("целые" точки). Посчитать через сколько целых точек он проходит (начало и конец не считаем).

Method signature:  int carrotsBetweenCarrots(int x1, int y1, int x2, int y2)


Вот это не работает. Не хватает видимо точности.

Правильное решение: НОД катетов минус 1. Почему это так?? я не понимаю!!    

тут можно решать в два этапа:
1. найти НОД-1 точек
2. доказать, что больше нету

A, B - концы отрезка
dx=Bx-Ax
dy=By-Ay

первый этап очень простой:
dx (горизонтальный катет) = N*НОД
dy (вертикальный катет) = M*НОД
тогда мы можем просто выписать НОД-1 точку (учитывая, что концы нас не интересуют):
(1*N,1*M),(2*N,2*M),...,((НОД-1)*N,(НОД-1)*M)

теперь второй этап:
просто докажем, что если взять любую точку с целыми координатами на отрезке, она будет одной из вышеупомянутой последовательности
взяли точку C
тогда (Cx-Ax)/dx=(Cy-Ay)/dy
dy*(Cx-Ax)=dx*(Cy-Ay)
M*(Cx-Ax)=N*(Cy-Ay)
т.к. Cy-Ay - целое, то M*(Cx-Ax) кратно N
а т.к. M и N взаимно простые, то Cx-Ax кратно N
аналогично Cy-Ay кратно M
т.е. Cx-Ax=K*N, Cy-Ay=L*M
K*N/(N*НОД)=L*M/(M*НОД)
сокращаем: K=L
т.е. Cx-Ax=K*N, Cy-Ay=K*M
это K не может быть меньше 0 или больше НОД, т.к. точка вылезет за пределы отрезка
и равна она быть тоже не может, т.к. концы отрезка нас не интересуют
значит K - целое в пределах [1,...,НОД-1]

P.S.
что-то, чувствую, немного кривоватое доказательство - в смысле можно короче

Ошибки никак найти не могу. Видимо это победа
спасибо