Что вообще понимается под понятием касательной к графику в полярной системе координат? Визуально это линия или окружность? Каков алгоритм её построения?

1) Касательная это прямая
2) Понятие касательной к кривой не зависит от того в какой системе координат эта кривая описанна прямоугольная, косоугольная, сферическая и т.д.
3) Определение звучит так: касательной к прямой А в точке Б называется такая прямая которая: проходит через точку Б так, что существует такая окрестность точки Б, что все точки кривой А лежат в одной полуплоскости.

Алгоритм построения секущей в точке А таков:
- берем некую точку Б отличную от А строим секущую
- выбираем новую точку Б на интервале между А и Б
- в пределе получим касательную

Вот это правильно?

Да

Цитата

Алгоритм построения секущей в точке А таков: - берем некую точку Б отличную от А строим секущую - выбираем новую точку Б на интервале между А и Б - в пределе получим касательную

Не проще ли в точке А посчитать производную? пусть и чисельно... коя будет тангенс угла наклона касательной... константу посчитать элементарно... оно и быстрее, и точность выше...

Цитата

Не проще ли в точке А посчитать производную? пусть и чисельно... коя будет тангенс угла наклона касательной... константу посчитать элементарно... оно и быстрее, и точность выше...

Поддерживаю на 100%...

Цитата

Алгоритм построения секущей в точке А таков: - берем некую точку Б отличную от А строим секущую - выбираем новую точку Б на интервале между А и Б - в пределе получим касательную

Цитата

Не проще ли в точке А посчитать производную? пусть и чисельно... коя будет тангенс угла наклона касательной... константу посчитать элементарно... оно и быстрее, и точность выше...

это - одно и то же

ИМХО

maxim1000

Цитата

это - одно и то же

А вот и нет. Давай повнимательнее почитаем:

Цитата

- берем некую точку Б отличную от А строим секущую - выбираем новую точку Б на интервале между А и Б - в пределе получим касательную

В пределе с учетом численного, а не аналитического, метода получим не касательную, а одно из двух:
Вариант 1 - Точка Б совпадет с точкой А, в результате divizion by zero со всеми вытекающими;
Вариант 2 - Точка Б настолько приблизится к точке А, что расчетная ошибка превысит все мыслимые размеры.

В то же время при наличии аналитического выражения функции получить аналитическое выражение ее производной - не самая сложная задача... да и численные методы счета производной в отличие от построения секущих нацелены в том числе (именно) на минимизацию ошибок вычисления...

Цитата

Что вообще понимается под понятием касательной к графику в полярной системе координат? Визуально это линия или окружность? Каков алгоритм её построения?

ничего не сказано о вычислительных средствах
вопрос сформулирован чисто теоретически
если же рассматривать случай реализации на какой-то вычислительной системе, то под пределом я бы понимал достаточно маленькое расстояние между точками, которое приводит к приемлимым вычислительным ошибкам
Добавлено @ 12:55
почитал последнее предложение... теперь согласен...
определение численной производной - более общее понятие, построение секущей - частный случай способа определения производной

По-моему тут 2 варианта
1) Кривая задана аналитически(или "кусочно аналитически"--кривовато сказал, но вы поняли). Тогда проще всего посчитать как протзводную--в случае аналитического задания кривой F в (r,phi) всякая уважающая себя кривая задает неявную функцию r(phi) за исключением конечного числа точек.
тогда phi касательной=atan(dr/dphi+1);
2) Если кривая задана численно (т.е. в виде массива точек), то необходимо выбрать направление обхода(по индексам) и касательную вычислять как atan((r[i+1]-r[i])/(phi[i+1]-phi[i]));

А если функция кривой не непрерывна или нет производных в точке?

Если функция имеет левую или правую производную, то соответственно будут и касательные.

Что значит левую и правую? dz/dx, dz/dy ???

Это я.

Правой производной к функции называется правый предел dY/dX при dX->0.
Правым пределом функции f(X) в точке X0 называется: число A такое, что для любого B > 0 существует такое C, что для всех X таких что: X0 - X < C, выполняется следующее: | f(X) - A | < B.