Модераторы: Poseidon
  

Поиск:

Ответ в темуСоздание новой темы Создание опроса
> [Алгебра]. Матричное уравнение 
:(
    Опции темы
studentka1981
Дата 30.11.2008, 11:58 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка ... Загрузка ... Быстрая цитата Цитата


Новичок



Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 3
Регистрация: 30.11.2008
Где: Москва

Репутация: нет
Всего: нет
Добрый день.

Помогите решить матричное уравнение.  АХ=В.
      2  -1  0                             -3  0  2
А=  1   1  2                    В=    -2   1 -2
      3  -1  3                             4  -1  1

Всеэти данные указаны в круглых скобках.    smile 

Спасибо.
PM MAIL   Вверх
Aloha
Дата 30.11.2008, 13:39 (ссылка) | (голосов:1) Загрузка ... Загрузка ... Быстрая цитата Цитата


.
**


Профиль
Группа: Участник Клуба
Сообщений: 351
Регистрация: 14.5.2006

Репутация: 97
Всего: 165
A‾¹АХ = A‾¹В    →   Х=A‾¹В  где  A‾¹  обратная матрица:

A‾¹ = 
 5/7   3/7  -2/7
 3/7   6/7  -4/7
-4/7  -1/7   3/7

Х = 
-29/7   5/7   2/7
-37/7  10/7 -10/7
 26/7  -4/7  -3/7
PM   Вверх
darkart
Дата 30.11.2008, 13:46 (ссылка) | (голосов:1) Загрузка ... Загрузка ... Быстрая цитата Цитата


Опытный
**


Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 379
Регистрация: 9.11.2005

Репутация: 26
Всего: 31
Легче объяснить, чем записатьsmile
Цитата

Дано:

AX = B

A =
2 -1 0
1  1 2
3 -1 3

B = 
-3  0  2
-2  1 -2
 4 -1  1

A - невырожденная матрица, detA<>0, следовательно существует обратная (A^-1)

A*(A^-1) = (A^-1)*A = I(единичная матрица)

Домножим обе части уравнения AX = B слева на (A^-1), получим:

(A^-1)AX = (A^-1)B
<=>
IX = (A^-1)B
<=>
X = (A^-1)B

т.е. для того чтобы решить уравнение, достаточно найти (A^-1) и вычислиь произведение (A^-1)B

Обратная матрица
(A^-1) = (1 / detA) * CT( CT - транспонированная матрица дополнений или союзная матрица, detA - определитель матрицы A )

detA = (-1)^(1+1) * 2 * (3+2) + (-1)^(1+2+1)(3-6) = 10 - 3 = 7
1 / detA = 1/7

C = 
(-1)^(1+1)*(3+2), (-1)^(1+2)*(3-6), (-1)^(1+3)*(-1-3)
(-1)^(2+1)*(-3-0), (-1)^(2+2)*(6-0), (-1)^(2+3)*(-2+3)
(-1)^(3+1)*(-2-0), (-1)^(3+2)*(4-0), (-1)^(3+3)*(2+1)
=
 5  3 -4
 3  6 -1
-2 -4  3

CT(транспонирование - строки и столбцы меняются местами):
 5  3 -2
 3  6 -4
-4 -1  3

(A^-1) =( 1 / detA  ) * CT = (1 / 7)  * CT =
 5/7  3/7 -2/7
 3/7  6/7 -4/7
-4/7 -1/7  3/7

Можно выполнить проверку: A * (A^-1) = (A^-1) * A = I(единичной), если проверка удалась, то матрица (A^-1) найдена верно.

Далее подставляем (A^-1) в уравнение:

X = (A^-1)B

 5/7  3/7 -2/7    -3  0  2
 3/7  6/7 -4/7 * -2  1 -2 = 
-4/7 -1/7  3/7     4 -1  1

-15/7-6/7-8/7,    3/7+2/7, 10/7-6/7-2/7
-9/7-12/7-16/7,  6/7+4/7, 6/7-12/7-4/7  =
12/7+2/7+12/7, -1/7-3/7, -8/7+2/7+3/7

-29/7,  5/7,    2/7
-37/7,  10/7, -10/7
 26/7, -4/7,  -3/7

X найдена

Выполнив проверку

AX = B, узнаем правильно ли найдена X.


Упс, опередилиsmile

Это сообщение отредактировал(а) darkart - 30.11.2008, 14:49
PM MAIL WWW ICQ Skype GTalk   Вверх
kokoshko
Дата 20.1.2010, 16:47 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка ... Загрузка ... Быстрая цитата Цитата


Новичок



Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 4
Регистрация: 20.1.2010

Репутация: нет
Всего: нет
добрый вечер всем кто сможет мне как-нибудь помочь с примером

решить матричное уравнение:


      2  -3  1                   9  7  6       2    0   -2
      4  -5  2    *   Х    *  1  1  2  =  18  12   9
      5  -7  3                   1  1  1       23  15  11

все значения в скобках

есть формула:
 
 Х=А^-1 * C * B^-1
 smile  smile  smile  smile  smile  smile

Добавлено через 6 минут и 13 секунд
добрый вечер всем кто сможет мне как-нибудь помочь с примером

решить матричное уравнение:


      2  -3  1                   9  7  6       2    0   -2
      4  -5  2    *   Х    *  1  1  2  =  18  12   9
      5  -7  3                   1  1  1       23  15  11

все значения в скобках

есть формула:
 
 Х=А^-1 * C * B^-1
PM MAIL   Вверх
darkart
Дата 22.1.2010, 12:32 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка ... Загрузка ... Быстрая цитата Цитата


Опытный
**


Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 379
Регистрация: 9.11.2005

Репутация: 26
Всего: 31
Все формулы, есть. В чем проблема?
Цитата

2 -3 1       9 7 6    2  0 -2
4 -5 2 * X * 1 1 2 = 18 12  9
5 -7 3       1 1 1   23 15 11

   A   * X *   B   =     C
I)
A * X * B = C
(A^-1) * A * X * B * (B^-1) = (A^-1) * C * (B^-1)
X = (A^-1) * C * (B^-1)

II)
Находим (A^-1)

detA = 2 * (-15 + 14) + 3 * (12 - 10) +(-28+25) = -2 + 6 - 3 = 1

CA - матрица дополнений для A
     -1 -2 -3
CA =  2  1 -1
     -1  0  2

(CA)T - транспонированная CA
        -1  2 -1
(CA)T = -2  1  0
        -3 -1  2

(A^-1) = 1/detA * (CA)T = 1 * (CA)T = (CA)T
         -1  2 -1
(A^-1) = -2  1  0
         -3 -1  2
II)
Находим (B^-1)

detB = 2 * (1-2) = -2

CB - матрица дополнений для B
     -1   1  0
CB = -1   3 -2
      8 -12  2

(CB)T - транспонированная CB
        -1 -1   8
(CB)T =  1  3 -12
         0 -2   2

(B^-1) = 1/detB * (CB)T = 1/(-2) * (CB)T = (-1/2) * (CB)T
          1/2  1/2 -4
(B^-1) = -1/2 -3/2  6
           0    1  -1
IV)
Вычисляем
             -1  2 -1    2  0 -2   11  9  9
(A^-1) * C = -2  1  0 * 18 12  9 = 14 12 13
             -3 -1  2   23 15 11   22 18 19

V)
Находим X
Умножаем полученную матрицу на (B^-1)
    11  9  9    1/2  1/2 -4   1 1 1
X = 14 12 13 * -1/2 -3/2  6 = 1 2 3
    22 18 19     0    1  -1   2 3 1
    1 1 1
X = 1 2 3
    2 3 1

VI)
Проверка
2 -3 1   1 1 1   9 7 6    2  0 -2
4 -5 2 * 1 2 3 * 1 1 2 = 18 12  9
5 -7 3   2 3 1   1 1 1   23 15 11

Вычисления не расписаны - долго.
PM MAIL WWW ICQ Skype GTalk   Вверх
  
 Ответ в темуСоздание новой темы Создание опроса
Правила форума "Центр помощи"

ВНИМАНИЕ! Прежде чем создавать темы, или писать сообщения в данный раздел, ознакомьтесь, пожалуйста, с Правилами форума и конкретно этого раздела.
Несоблюдение правил может повлечь за собой самые строгие меры от закрытия/удаления темы до бана пользователя!


  • Название темы должно отражать её суть! (Не следует добавлять туда слова "помогите", "срочно" и т.п.)
  • При создании темы, первым делом в квадратных скобках укажите область, из которой исходит вопрос (язык, дисциплина, диплом). Пример: [C++].
  • В названии темы не нужно указывать происхождение задачи (например "школьная задача", "задача из учебника" и т.п.), не нужно указывать ее сложность ("простая задача", "легкий вопрос" и т.п.). Все это можно писать в тексте самой задачи.
  • Если Вы ошиблись при вводе названия темы, отправьте письмо любому из модераторов раздела (через личные сообщения или report).
  • Для подсветки кода пользуйтесь тегами [code][/code] (выделяйте код и нажимаете на кнопку "Код"). Не забывайте выбирать при этом соответствующий язык.
  • Помните: один топик - один вопрос!
  • В данном разделе запрещено поднимать темы, т.е. при отсутствии ответов на Ваш вопрос добавлять новые ответы к теме, тем самым поднимая тему на верх списка.
  • Если вы хотите, чтобы вашу проблему решили при помощи определенного алгоритма, то не забудьте описать его!
  • Если вопрос решён, то воспользуйтесь ссылкой "Пометить как решённый", которая находится под кнопками создания темы или специальным флажком при ответе.

Более подробно с правилами данного раздела Вы можете ознакомится в этой теме.

Если Вам помогли и атмосфера форума Вам понравилась, то заходите к нам чаще! С уважением, Poseidon, Rodman
 
1 Пользователей читают эту тему (1 Гостей и 0 Скрытых Пользователей)
0 Пользователей:
« Предыдущая тема | Центр помощи | Следующая тема »

Подписаться на тему | Подписка на этот форум | Скачать/Распечатать тему


 




[ Время генерации скрипта: 0.0822 ]   [ Использовано запросов: 21 ]   [ GZIP включён ]


Реклама на сайте     Информационное спонсорство

 
 По вопросам размещения рекламы пишите на vladimir(sobaka)vingrad.ru
Отказ от ответственности     Powered by Invision Power Board(R) 1.3 © 2003  IPS, Inc.