Я хочу, чтобы пользователь вводил запрос в клеточку, нажимал кнопку и по нажатию кнопки, введённый пользователем запрос передавался бы через HTTP запрос серверу, а ответ сервера вводился бы в уже существующий на странице элемент DIV.

Как это сделать? Только при помощи XMLHttpRequest или можно проще?

Мне нужно, чтобы по мере того, как сервер выдаёт ответ, он бы появлялся на странице, сразу, в процессе.

Под Ваши требования нужно использовать Ajax

Ну AJAX это же просто название набора приёмов. А как конкретно скачать страницу?

Имхо, это самый простой вариант.