Пиветствую!

Мне необходимо найти такое максимальное расстояние между мат ожиданиями двух Гауссианов при котором максимум их суммы придется на середину расстояния между их мат ожиданиями. Я понимаю, что звучит запутанно. Проиллюстрирую.

Вот графики двух гауссианов и функции их суммы:



Если мы будем сближать мат ожидания гауссианов, то постепенно значение функции их суммы между ними будет расти пока не дойдет до точки где станет максимумом. 



Вот именно это расстояние мне и нужно найти. То есть максимальное расстояние между мат ожиданиями при котором максимум функции суммы приходится на середину расстояния между ними.



Вот мое решение. Я иду в какой-то лес, хотя все должно быть довольно просто (a - расстояние между мат ожиданиями):



Все это как ни странно имеет отношение к моей работе. Прошу не перемещать тему в студенчесский раздел.

Добавлено @ 17:37
Опечатка с критерием. Должно быть  а не 

Это сообщение отредактировал(а) neutrino - 9.3.2009, 09:15

если расстояние равно нулю, то есть мат. ожидания совпадают, то условие выполняется

Ну, если интересует, то подсказываю:
Когда средние совпадут, вот тогда максимум и будет достигнут. Поскольку он будет достигнут аккурат в той самой точке, где эти средние совпадут, то он, естественно будет находиться точно посередине между совпадающими точками.

Или я чего-то не понял и рассказываю не о том?
Если так, то неплохо бы к таким хорошим иллюстрациям добавить тот самый случай, когда точки еще не совпадают, а продолжают сближаться, но максимум суммы падает по мере сближения.

Присоединяюсь к предыдущим ораторам.... Непонятно условие.

Я вот тоже присоединяюсь к мнению о непонятности.
То есть я не исключаю такого, что neutrino  интересовал совсем не тот вопрос, правильный ответ на который "матожидания совпадают". Если так, то можно надеяться на допольнительные разъяснения со  стороны  neutrino..

Приветствую! Спасибo за отклики.

Перечитал свой пост. Вроде все правильно. Да, запутанно, но верно. 

Мне нужно не чтобы условие просто выполнялось а найти границы в которых оно выполняется.. Конечно если мат ожидания совпадают, то и думать нечего. Мне нужно найти такое максимальное расстояние между двумя гауссианами - а, при котором максимум суммы все еще приходится на а/2. Когда а=0, то максимум суммы приходится на а/2 = 0/2 = 0, но мне надо не 0 а максимальное расстояние. Если раздвигать гауссианы дальше а, то вместо одного максимума суммы будет два максимума (смотрите на графики).

Добавлено через 12 минут и 47 секунд

При сближении максимум суммы не может падать. Он может только расти. Но посередине он оказывается не только тогда, когда гауссианы совпадают а раньше. Вот когда это начинает происходить?



Это сообщение отредактировал(а) neutrino - 9.3.2009, 09:05

Подправил первый пост. В начале забыл указать "максимальное". Теперь указал и выделил.

перво, что пришло в голову, тоже было равенство нулю второй производной
только стоит выбрать выражения гауссианов по-другому
1. сдвинем их так, чтобы начало координат было точно по середине, ответ, очевидно не изменится
2. изменим масштаб так, чтобы выражения гауссианов были: exp(-sqr(x-d)) + exp(-sqr(x+d))

вторые производные получаются: (4sqr(x-d)-2)exp(-sqr(x-d)) + (4sqr(x+d)-2)exp(-sqr(x+d))
в нуле: (4sqr(d)-2)exp(-sqr(d)) + (4sqr(d)-2)exp(-sqr(d))
соответственно, онаравна нулю при d=1/sqrt(2)

neutrino!
Вот не зря я, оказывается, на Вас надеялся.
Думаю, что и другие надеялись.

Каюсь, я не читал внимательно Вашего сочинения, но вторую производную там заметил.
Поэтому позволю себе не приводить само решение, а обойтись  некими подсказками. Мне кажется, что Вы с доводкой легко справитесь.

Насколько я понял, Вас интересует случай одинаковых дисперсий. Это ограничение упрощает выкладки.

Во-первых, у обоих слагаемых имеется одинаковый множитель, на который в условиях задачи просто можно не обращать внимания.
Во-вторых, мы можем сделать масштабирующее преобразование t = x / s. В этом случае у нас появится a / s. Найдем a0 для случая s = 1. Для общего случая a = a0 * s.

В результате от всей функции у нас остается g(x) = exp(-x*x).
Вообще-то, если, для каких-то чисто практических нужд, нужен только сам ответ, то его можно легко найти численными эксперименттами в Excel или чем-то подобном.

Если же нужен теоретический результат, то...

Сдвинем начало координат. Куда? Мне кажется, что может повезти, если начало координат поместить ровно посередине между горбами. Чтобы не таскать половинку, будем через a обозначать половину расстояния между горбами.

Итак, задача.
Дана функция, зависящая от параметра: h(x, a) = g(x + a) + g(x – a), где g(x) = exp(-x*x).
Требуется найти такое значение a0, что при a < a0, h(x, a) – унимодальная, а при a > a0 – бимодальная.

Для решения задачи потребуется анализировать первую производную функции h(x, a). Тут, я думаю, стоит вспомнить о том, что монотонные преобразования не сдвигают минимумы и максимумы. Это в частности означает, что у ln(h(x, a)) максимумы находятся точно там же, что и у h(x, a). То есть, я намекаю на то, что перед дифференцированием, h(x, a) стоит прологарифмировать.
Зачем? А вот зачем. 
ln'(h(x, a)) = (h'(x, a) / h(x, a). Если раскрыть скобки внутри экспоненты, то мы увидим, что члены, содержащие квадраты, сокращаются. Но это еще не все. Нас ведь интересуют только нули выражения. Поэтому, после сокращения, строго положительный знаменатель мы можем бодро игнорировать. Останется …. Думаю, что с тем, что останется, Вы легко справитесь.
Правда, я сам выкладок до конца не проводил. Но надеюсь, что не наврал. Если наврал, то будем исправлять. 

Удачи!


Это сообщение отредактировал(а) Sefko - 9.3.2009, 17:04

neutrino!

Обнаружил вот это сообщение на другой Вашей ветке, и, кажется, понял,откуда взялась задача.

Идея использовать "элементарные" нормальные расспределения для построения "аналитического" распределения экспериментальных точек - очень стара, но не получила широкого применения: слишком трудоемко с вычислительной точки зрения. Тем не менее, его можно в модифицированном варианте приспособить и для той задачи. 

Что и как отпишусь на той ветке.