Доброго времени суток.

задача состоит в написании функции проверки нахождения точки в усечённом конусе. 

итак, мой конус задан 6 координатами центров и, соответственно,  двумя радиусами отсекающих окружностей:
X1, Y1, Z1 - центр первой отсекающей окружности
R1 - её радиус.
X2, Y2, Z2 - центр второй отсекающей окружности
R2 - её радиус.
x, y, z - координаты точки в пространстве.

то есть, конус может быть и наклоненным, а отсекающие окружности, само собой, остаются взаимно перпендикулярными.

формула поверхности конуса второко порядка такая: 
а выглядит эта штука так: 

это конечно не усеченный конус)))) тут нет нижней отсекающей поверхности и более того, он в отрицательной полуоси z повторяется. возможно кто-то знает более подходящую формулу именно усеченного конуса... я лично в ангеме не силён)

вопрос... как этим пользоваться? как связать X1, Y1, Z1, R1, X2, Y2, Z2, R2, x, y, z с этой формулой?   

я так понимаю, как-то надо заюзать нормали этой поверхности...   

Это сообщение отредактировал(а) CompWorm - 5.6.2009, 22:46

Пардон, ошибся... Подумаю 

Ага, подумал 

Нужно:

1. Построить прямую, проходящую через точки (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2)
2. Построить нормаль к этой прямой, проходящую через точку (x, y, z)
3. Если точка пересечения прямой и нормали не находится между точками (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) то точка вне конуса...
4. Если же она между этими точками, то находим коэффициенты a и b радиуса поверхности конуса от расстояния от точки (x1, y1, z1)
а именно: a=(R2-R1)/(расстояние между точками),  b=R1...

Это коэффициент будет...

Дальше берем расстояние от точки (x, y, z) до прямой (x1, y1, z1)-(x2, y2, z2) и сравниваем с выражением

ax+b, где x - расстояние от (пересечения нормали построенной в п.2 с этой прямой) до (точки (x1, y1, z1))... 
Если радиус в точке пересечения больше чем расстояние от точки до прямой, то точка внутри фигуры, а если радиус меньше - то точка вне фигуры...

Уффф, кажется все...

Щас рисунок попробую сделать... 

Это сообщение отредактировал(а) Курсант - 6.6.2009, 19:13

Присоединённый файл ( Кол-во скачиваний: 16 )
 __________.JPG 20,94 Kb

Еще есть вариант...

У Вас есть две точки и нормаль (нормаль это прямая проходящая через две твои точки)...

Поэтому в каждой точке можно построить по одной плоскости, делящей пространство на полупространства... Уравнения полупространств наверняка как-то получить можно... очевидно что уравнение плоскости будет ( ... = 0 ) , тогда уравнения полупространств будут соответственно ( ... > 0 ) и ( ... < 0 )...

Аналогично поверхность конуса делит пространство на подпространства, где ( ... = 0 )  - уравнение поверхности, и далее ( ... < 0 ) и ( ... > 0 ) - это соответственно внутреннее и внешнее подпространства поверхности...

Вот Вам надо написать три функции - определения нахождения точки в каждом из трех подпространств...

Если все три функции вернули тру, значит точка внутри фигуры, если нет - значит вне фигуры...

Такое вот предположение... Не ругайтесь, если оно глупой (ан гем я сам забыл сто лет назад), то можно воспользоваться первым вариантом...

Добавлено @ 22:27
Мда, посмотрел, Вам прийдется в этом случае найти вершину конуса, и перевести координаты точки (x, y, z) в систему координат с центром в вершине конуса и с осью z направленной по оси симметрии конуса... После этого сможете обращаться с подпространствами, которые получаются из конуса и плоскостей...

При этом первое подпространство будет задано неравенством z > z1' , второе будет задаваться неравенством z < z2' , и каноническое уравнение конуса второго порядка будет задано уравнением, которое Вы написали выше.. подпространства его будут:

внутреннее - < 0 и внешнее - > 0 ... вот этими то объектами Вы и сможете все это дело определить...

Это сообщение отредактировал(а) Курсант - 6.6.2009, 22:29

спасибо, Курсант, допишу свой третий вариант (это фактически доработанный твой первый)...

1) перевести систему координат из стандартной 3D (x, y, z) в 
частную систему конуса 2D (x` y`). она располагается на плоскости, образуемой 
тремя точками (x, y, z)-(x1, y1, z1)-(x2, y2, z2). 
это самый сложный момент.

2) теперь наши точки имеют координаты (x', y') , (x1', y1')-(x2', y2'). теперь совсем просто проверить, находится ли наша точки между отсекающими кругами: она между ними, если (x1'<x'<x2') или (x2'<x'<x1') в противном случае, точка точно за отсекающими кругами.

3) теперь от поверхности конуса осталась только прямая  (её концы нас не интересуют. это учтено в пункте 2) нам нужно найти Y3' этой прямой в точке X3'=x' (абсцисса нашей искомой точки) и если Y3'>y' то наша точка под прямой.



ВСЁ!   

-----------------------------------------------------
теперь то, ради чего создавалась эта тема - функция контроля точки.

то есть далее речь пойдет о формулах и конкретных математических расчетах. надеюсь, кто-нибудь мне в этом поможет.
давайте прежде всего прикиним, какой из трёх представленных алгоритмов наиболее быстрый с точки зрения математических расчетов и перейдем к матчасти этой задачи. для меня тут самое сложное это математика))))) 

мой метод кажется мне очень простым, но я не уверен в том что он окажется быстрее в плане расчетов двух методов предложенных Курсантом. мне кажется, с использованием уравнения поверхности это выйдет быстрее!!! очень хотелось бы добить именно этот вариант...

давайте распишим математику и увидим, какой метод лучше. 
я распишу свой вариант.

1) перевод координат...  хммм... понятия не имею, как это реализовать)))))))))) подскажите?
2) проверяем относительно кругов if Min(x1`,x2`) < x' < Max(x1`,x2`) если ни то ни другое - false.
3) y3' = k * x3' + b
где: x3'=x'
k это тангенс угла наклона = ( Max(R1, R2) - Min (R1, R2) ) / ( Max(x1', x2') - Min (x1', x2') )
b это на сколько приподнята прямая над осью x. 
b = Min (R1, R2)

когда нашли y3' от x'  -  проверяем, если if (y3' > y') то точка в конусе. в противном случае false



подскажите, как мне координаты перевести в первом пункте ?

Это сообщение отредактировал(а) CompWorm - 7.6.2009, 13:03

http://gis-lab.info/qa/datum-transform-methods.html

Вот здесь описан переход к другой системе координат через ее известные смещение/поворот относительно исходной...

Нормаль все равно прийдется строить мне кажется... Я не помню точно, но мне кажется Вам прийдется найти три единичных вектора.
Первый из них направленный по прямой (1)-(2), второй по нормали к этой прямой через точку (xyz), а третий будет их векторным произведением.

Тогда в этой СК значения Z для всех точек будет равным нулю, и можно будет поверхность вырождать в трапецию...

И все таки мне все больше начинает нравится второй вариант - можно найти всего одну СК, в которой точки (1) и (2) вырождаются в точки на оси z, уравнение поверхности вырождается в каноническое, которое Вы привели, внутренняя область конуса вырождается соответственно в неравенство (x^2/a^2 + y^2/b^2 - z^2/c^2 < 0) а полупространства вырождаются в уравнения z {принадлежит} (z1'...z2')...

то есть совпадение точки и полупространств вычислить будет элементарно...

Вершина находится элементарно, раз у вас есть координаты и радиусы, углы поворота осей может найдете из приведенной ссылки.

Это сообщение отредактировал(а) Курсант - 7.6.2009, 23:15

Курсант, 
пока не забыл, +1   .

ха ха, я конечно дубина)))) как только я эти матрицы поворота и смещения увидел - сразу вспомнил, что они у меня в одной книжке были))


вот, да! мне тоже)))
если я правильно понимаю, надо "сместить" конус в начало координат, и развернуть его стоймя, так чтоб ось идущая от нас совпала с нормалью от искомой точки до оси конуса и тогда одна ось вырождается?

сместить просто - берм центр одного из отсекающих кругов, например 1 и вычетаем его x, y, z из коорднинат искомой точки, точки 1 и 2. для поворота надо использовать матрицу поворота. с углами поворота замута тоже, но думаю можно вычисить из катетов и акрсинусов всяких.


а как быть с концом конуса??? достраивать? ну допустим))

тогда есть мысль - подставить в каноническое уравнение координаты от искомой точки y` и z` ( где z {принадлежит} (z1'...z2') ) 

y'=0 к стати   

оси как тут
(ось x сонаправлена с нормалью искомой точки)


, найдя точки X поверхности (их будет две на одной и другой стороне) и проверить, принадлежит ли x' этому промежутку? так?

Это сообщение отредактировал(а) CompWorm - 9.6.2009, 23:04

За плюсик пасибо    

Что касается преобразований - я немного другое имел ввиду...

Найти систему координат конуса, вот что я имел ввиду... Систему координат, в которой начало координат в вершине конуса, ось z направлена по прямой (1) - (2)... Вот по координатам точек этой прямой можно найти два угла поворота системы координат конуса относительно исходной. А по "раствору" конуса можно определить коэфф-ты a, b, c для его канонического уравнения в этой системе координат. Усе. Теперь у Вас есть вектор смещения СК конуса относительно исходной СК (координаты вершины конуса и будут составляющими этого вектора). Углы поворота тоже можно вычислить через угол наклона оси конуса... Дальше преобразовывайте координаты точки из исходной СК в СК конуса, и уже в ней, имея коэффициенты a, b, c, а также значения z1 и z2 (где z1 и z2 есть расстояния центров отсекающих кругов от вершины конуса) можно определить, внутри конуса точка или снаружи...

Если трудно - всегда можно вернуться к первому варианту - построению нормали, проходящей через точку. Всего то...

Добавлено @ 23:49
Вершина конуса: 
x0 = x2-(x1-x2)/(R1-R2)*R2;
y0 = y2-(y1-y2)/(R1-R2)*R2;
z0 = z2-(z1-z2)/(R1-R2)*R2;

З.Ы. Есть предположение у меня, что по координатам двух точек не получится найти углов наклона прямой. Хотя возможно что:
Угол поворота вокруг оси Ox будет равен углу между осью z и проекцией прямой на плоскость yOz... А угол поворота вокруг оси Oy' будет равен углу между прямой и плоскостью yOz... В общем код будет представлять из себя пару квадратных корней, пару арккосинусов, несколько синусов-косинусов... А так - ничего особенного...

Как по координатам синусы углов между прямыми и плоскостями, проекциями и т.п. найти думаю сможете? Там по т. Пифагора все проекции очень миленько высчитываются... Щас спать пора, а завтра может допишу 

Вот графический комментарий... Сначала поворачиваем вокруг оси X на угол альфа, а потом вокруг получившейся оси Y' на угол бета.

То есть в моем понимании, угол поворота вокруг оси X , будет равен
arccos((z1-z0)/корень((z1-z0)^2+(y1-y0)^2))
а вокруг оси Y'
arccos(корень((z1-z0)^2+(y1-y0)^2)/корень((z1-z0)^2+(y1-y0)^2+(x1-x0)^2))


Это сообщение отредактировал(а) Курсант - 10.6.2009, 14:42

Присоединённый файл ( Кол-во скачиваний: 6 )
 ACDSee_8.0_BMP_Image.JPG 7,00 Kb

хе хе!   

ну а матрицы то на что! я почесал репу и пришел к такому мнению:

ты прав, достаточно два любых поворота, но нас сами углы как таковые не интересуют, ибо если сместить R2 в точку (0,0,0), где R2>R1, то координаты точки R1 мы знаем! давай считать, что расстояние между R1 и R2 известно и равно L.
тогда координаты точки R1 после смещения x1', y1', z1'  = (0,0,-L). 
начальные координаты и конечные знаем, теперь осталось определить внешний вид самих матриц поворота. думаю, что математики меня не порвут, если я сделаю так    :

|x1|  |        |  |        |    | x' |
|y1|*|   Z   |*|   Y   | = | y' |
|z1|  |        |  |        |    | z' |

то есть, помножив известные x1,y1,z1 на две матрицы поворота (вокруг Z и вокруг Y например) получим известные координаты (0,0,-L). соответственно нам надо отсюда найти элементы произведения |Z| на |Y|.
всё. теперь подставляем вместо координат точки 1 координаты искомой точки x, y, z и получаем её новые координаты x', y', z' !  
сами матрицы берем >>> тут <<<

с матрицами я не в ладах, но думаю так можно))))

я тебя малость не дождаля и решил от скуки расписать своё решение из предыдущего поста. посмотри рисунок, который я приложил.

считаем, что координаты уже преобразованы и конус торчит как на рисунке 2. 
для перехода к каноническому уравнению надо найти смещение усеченного конуса по оси Z. для этого я нахожу его вершину. хмм... эти формулы у нас с тобой разные)))))
вершина находится в точке (0, Z) и для ее нахождения я использую уравнение прямой, проходящей через две заданные несовподающие точки.

расстояние от начала координат до первой отсекающей окружности я обозначил как Lo и Lo=-Z 

теперь решаем каноническое уравнение (рисунок 1). здесь считаем, что a=b; c=L+Lo; x=y. решив его находим два игрика Yo и Y1, равные, соответственно, двум иксам. это и есть промежуток для сравнения.

сравнение такое:

Z {принадлежит} (Lo, Lo+L)
X {принадлежит} (Yo, Y1)
Y {принадлежит} (Yo, Y1)

всё   


---------------------
есть ещё свежая мысль, определить, принадлежит ли искомая точка сечению конуса в точке z... но я пока не нашел уравнения сечения конуса в декартовых координатах...
возможно такой способ еще проще, ведь сечение можно построить, наверно и без преобразования СК ))) хотя хз...

Это сообщение отредактировал(а) CompWorm - 10.6.2009, 15:25

Присоединённый файл ( Кол-во скачиваний: 8 )
 DSC00462.JPG 885,46 Kb

Я считаю, что удобнее будет центр СК помещать в вершине конуса. Тогда вектор смещения исходной СК в СК конуса будет равен (координаты вершины конуса) - (координаты начала координат, т.е. (0, 0, 0) )

Удобнее потому, что если у тебя центр СК будет в точке x1, y1, z1 то уравнение конуса будет иметь вид (x-x1)^2/a^2 + (y-y1)^2/b^2 - (z-z1)^2/c^2 = 0, а это трабла полная... Проще центр СК иметь в точке вершины конуса, тогда уравнение будет

x^2 + y^2 - z^2/((расстояние от т.1 до вершины)/R1)^2 = 0, то есть a=1, b=1, c=(расст. от т.1 до вершины конуса)/R1...

А по отношениям длин проекций (см пост выше) можно построить сразу и матрицу направляющих косинусов... как в той википедии которую ты разместил в предыд посте... Вектор сдвига есть, матрица поворота есть. Сначала пересчитывай точку (x y z) в сдвинутой СК, потом пересчитывай эту точку из сдвинутой СК в сдвинуто-повернутую, путем умножения на матрицу  направляющих косинусов  - вуаля, у тебя есть координаты точки относительно канонического конуса и двух плоскостей... Проверяй условия вхождения точки одновременно в три объемных области, если хоть одна область не содержит точку, то вне, а если все содержат, то внутри.

Чтобы пересчитать точку (x, y, z) в СК конуса, в любом случае нужны вектор смещения и поворотная матрица.

Это сообщение отредактировал(а) Курсант - 10.6.2009, 20:44

я так и делаю. просто сначала мне надо найти Lo, а потом делаем СК стандартной для канонического уравнения, ка ты и пишешь.

на счет остального, соглашусь и подумаю над этим. спасибо. скорее всего это и будет идеальный вариант.

последнее, вопрос про формулу сечения конуса, о чем я писал выше... не в курсе какая она? может её как-то можно использовать без преобразований СК

Лучше не стоит - это опять надо будет по теореме Пифагора длины вычислять, и тому подобное.. Лучше не стоит.. Сначала лучше ную матрицу, потом каноническое уравнение... Тем более что от поворота все равно никуда не деться - как минимум одну точку поворачивать надо...