 |
|
Модераторы: Poseidon |
 
|
|
[Математика] Задача на производную, Задача на производную 
| Tej |
|
|||
|
Новичок Профиль Группа: Участник Сообщений: 8 Регистрация: 29.11.2010 Репутация: нет Всего: нет |
Здравствуйте. Задали задачу на производную в типовом расчёте, убил на неё почти один целый день и не решил, хотя производную от функции я умею выводить. Решил обратиться на Ваш форум за получением помощи. Вот условие этой задачи:
"Из бумажного круга радиуса R вырезан сектор, а из оставшейся его части склеена коническая воронка. Какой угол должен иметь вырезанный сектор, чтобы объем воронки был наибольшим?" Буду очень благодарен. |
|||
|
||||
Загрузка ...
| Фантом |
|
|||
 Вы это прекратите!  Профиль Группа: Участник Клуба Сообщений: 1516 Регистрация: 23.3.2008 Репутация: 7 Всего: 49 |
Очевидно, что все линейные размеры пропорциональны R, так что для простоты примем R=1, ответ на вопрос задачи от этого не зависит. Если вырезан сектор с центральным углом f (в радианах), то получится конус с длиной окружности в основании, равной 2*pi-f. Отсюда радиус основания равен r=(2*pi-f)*2/pi=1-f/2/pi. Высота конуса равна h=sqrt(1-r^2), а объем V=pi*r^2*h/3. Нам нужен максимальный объем, т.е. требуется сделать максимальной функцию f®=r^2*sqrt(1-r^2) (все прочее - постоянные множители, не влияющие на результат).
Дифференцируем ее, приравниваем производную к нулю и получаем уравнение 2*r=3*r^3. Нам нужен только r>0, так что r=sqrt(2/3). Отсюда угол f=2*(1-sqrt(2/3))*pi, т.е. примерно 66 градусов. |
|||
|
||||
| Tej |
|
|||
|
Новичок Профиль Группа: Участник Сообщений: 8 Регистрация: 29.11.2010 Репутация: нет Всего: нет |
Огромнейшее спасибо! Я всё понял до этого момента.
И как мы её дифференциируем? Т.е. берём от неё производную? И почему f®=r^2*sqrt(1-r^2) ? f в этом уравнении угол или f=функция? Это сообщение отредактировал(а) Tej - 30.11.2010, 00:21 |
|||
|
||||
| Фантом |
|
||||
|
Вы это прекратите! Профиль Группа: Участник Клуба Сообщений: 1516 Регистрация: 23.3.2008 Репутация: 7 Всего: 49 |
Да, именно. Обычная производная произведения, 2*r*sqrt(1-r^2)-r^2/2/sqrt(1-r^2)*2*r. В получившемся результате, кстати, удобно умножить числитель и знаменатель на sqrt(1-r^2) - квадратные корни пропадут, тем более что равняться нулю должен именно числитель.
Просто некая абстрактная функция. Прошу прощения, не сообразил, что уже занял букву (я в качестве обозначения угла держал в голове греческую "фи", поэтому прозевал совпадение). |
||||
|
|||||
| Tej |
|
|||
|
Новичок Профиль Группа: Участник Сообщений: 8 Регистрация: 29.11.2010 Репутация: нет Всего: нет |
у меня производная этой функции получилась (r-2*®^3)/(sqrt((1-®^2)) . Я вот так и не понял, откуда вышла сама эта функция, ну вот эта f®=r^2*sqrt(1-r^2) . Вы же написали, что она некая абстрактная, так как же мы её нашли?
и вот это как мы тоже получили, я не понял. Лучше пожалуйста по-подробней с момента приравнивания производной функции к нулю. |
|||
|
||||
| Tej |
|
|||
|
Новичок Профиль Группа: Участник Сообщений: 8 Регистрация: 29.11.2010 Репутация: нет Всего: нет |
всё правильно, разобрался
 Видимо вчера ночью у меня уже голова не работала Огромное спасибо за решение! |
|||
|
||||
|
|
| Правила форума "Центр помощи" | |
|
|
ВНИМАНИЕ! Прежде чем создавать темы, или писать сообщения в данный раздел, ознакомьтесь, пожалуйста, с Правилами форума и конкретно этого раздела.
Более подробно с правилами данного раздела Вы можете ознакомится в этой теме. Если Вам помогли и атмосфера форума Вам понравилась, то заходите к нам чаще! С уважением, Poseidon, Rodman |
| 0 Пользователей читают эту тему (0 Гостей и 0 Скрытых Пользователей) | |
| 0 Пользователей: | |
| « Предыдущая тема | Центр помощи | Следующая тема » |
[ Время генерации скрипта: 0.0500 ] [ Использовано запросов: 22 ] [ GZIP включён ]
Реклама на сайте Информационное спонсорство
|
|
По вопросам размещения рекламы пишите на vladimir(sobaka)vingrad.ru
Отказ от ответственности Powered by Invision Power Board(R) 1.3 © 2003 IPS, Inc. |