Здравствуйте! Интересует вопрос о скачке файла из интернета. Есть программы, которые проверяют файл на наличие ошибок при скачке.

Каким образом можно создать следующее:
Программа которая, при запуске на вашем пк, проверяет был ли скачан файл с названием к примеру "мой файл.rar" с определенной ссылки. Также интересно можно ли сделать так, чтобы файл к примеру находился на "www.мой_сайт.ru/каталог1/каталог2/мой файл.rar", а програмка проверяла был ли скачан файл "мой файл.rar" с сайта "www.мой_сайт.ru" то есть важно только доменное имя, а не само местонахождение файла.

Пожскажите, как сделать что-то подобное? 

Имхо, нереально! Если я правильно понял вопрос. 
Кто-то скачал когда-то файл откуда-то. А может и не скачал. А может "полкило" или "бегемот".
Может лучше вместо вопроса X задать задачу Z?

Программа download master если я не ошибаюсь в названии.
При ее запуске, в определенном окне можно увидеть какие файлы были скачаны(имена), сколько они занимают места, с какого адреса.
Но если это программа и у нее есть структура, где вся эта информация сохраняется, то я подразумеваю, что интернет браузер это тоже программа со структурой, а иначе быть не может. Значит можно достать информацию о скаченном файле, вопрос в другом, как это сделать, есть ли такие функции в делфи?

Так программы  типа "download master" сами скачивают и сами знают, что они качали. И когда качали и как качали и чем всё это кончилось.
Сначала научись "просто качать". А уж потом...

Стандартных функций с обращением к хистори скачанных файлов к, например, опере, конечно же нет. Тебе нужно самому придумать как реализовать такую функцию. Определить установленные браузеры, обратиться к каждому из них, сверить хистори в загрузках браузеров с именем целевого файла.. Только если человек чистит хистори загрузок, это мало тебе чем поможет думаю.