VPF::Как лучше нарисовать параболу по трём точкам?

KPEHDEL

Дата 25.5.2013, 13:05 (ссылка)

(нет голосов)

Загрузка ...

Шустрый

Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 138
Регистрация: 31.3.2010

Репутация: нет
Всего: нет

Здравствуйте.
Делаю программу для численного интегрирования. Есть Методы левых, правых? центральных, прямоугольников, трапеций и симпсона.

Вот с последним проблема. С другими вроде всё достаточно понятно. Пример:
Левых прямоугольников: http://s2.ipicture.ru/uploads/20130525/GpjkpRRG.png
Трапеций: http://s2.ipicture.ru/uploads/20130525/n6xoS2nq.png

Проблема и вопрос в том, как лучше нарисовать/визуализировать метод Симпсона(Парабол).

Использую компонент Chart.
На данный момент метод выглядит примерно так:

Код


procedure TForm1.simpson;
var
  i:integer;
begin
  I_simpson:=0;
  SeriesSimpson.Clear;
  if N mod 2 <> 0 then
    EditSimpson.Text:=trim(EditN.text)+'%2!=0'
  else
    begin
      for i:=0 to N-1 do  // Проходим по всем разбиениям
        begin
          i_simpson:=i_simpson + ((points[i].xR- points[i].xL)*(funcs[i].fL+4*funcs[i].fM+funcs[i].fR))/6;  // Считаю.
          SeriesSimpson.AddXY(points[i].xL, funcs[i].fL); // Рисую.
          //Здесь наверное создавать вложенный цикл и в нём добавлять на график(в пределах разбиения) точки по какому-то принципу.
        end;
      SeriesSimpson.AddXY(points[N].xL, funcs[N].fL);
      EditSimpson.Text:=floattostrf(i_simpson, ffGeneral, 4, 8);
      SeriesSimpson.Active:=false;
    end;
end;

Если для визуализации предыдущих методов достаточно было двух точек, то здесь точек для визуализации надо больше и располагать их внутри отрезка.

Собственно сам вопрос.
Как через 3 точки нарисовать параболу?
Допустим, для каждого разделения будет вложенный цикл. По какому принципу(формуле) между этими 3 точками добавить и рассчитать их координаты, чтобы получилась парабола?

Визуально должно выглядеть примерно так:
http://en.academic.ru/pictures/enwiki/83/S...llustration.png
http://s2.ipicture.ru/uploads/20130525/pCJ32P0J.png
http://s2.ipicture.ru/uploads/20130525/izJsVNfR.png

С нетерпением жду ответа.
Заранее спасибо.

Это сообщение отредактировал(а) KPEHDEL - 25.5.2013, 13:09

Beltar

Дата 25.5.2013, 13:17 (ссылка)

(нет голосов)

Загрузка ...

Опытный

Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 627
Регистрация: 11.1.2006

Репутация: 3
Всего: 7

Если я правильно понял, то http://ru.wikipedia.org/wiki/Парабола
Последний раздел, вычисление коэффицинтов по трем точкам, после чего построение графика y(x) становится тривиальным.

--------------------

Опытный программист на C++ легко решает любые не существующие в Паскале проблемы. smile

(с) я, хотя может и нет
Пищущий на C++ мужик. Даже если это мужик сидит в написанном на Delphi и жрущем паскалевскую библиотеку билдере.

Фантом

Дата 25.5.2013, 13:21 (ссылка)

(нет голосов)

Загрузка ...

Вы это прекратите!

Профиль
Группа: Участник Клуба
Сообщений: 1516
Регистрация: 23.3.2008

Репутация: нет
Всего: 49

По определению метода Симпсона, на каждом отрезке интегрирования функция интерполируется параболой, проходящей через точки функции с аргументами, равными крайним и средней точкам отрезка. Следовательно, если есть отрезок [x1,x3] и средняя точка x2=(x1+x3)/2, а также значения функции y1=f(x1) и т.д., то у Вас есть система уравнений вида:
a*x1^2+b*x1+c=y1
a*x2^2+b*x2+c=y2
a*x3^2+b*x3+c=y3

Она решается относительно a,b,c, тем самым Вы получаете выражения для коэффициентов параболы, которую на этом участке надо нарисовать.

KPEHDEL

Дата 25.5.2013, 18:09 (ссылка)

(нет голосов)

Загрузка ...

Шустрый

Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 138
Регистрация: 31.3.2010

Репутация: нет
Всего: нет

Спасибо за ответы.
Что-то я совсем запутался... Помогите осознать, что делаю не так...

Результат получился такой:
http://s2.ipicture.ru/uploads/20130525/fE4RP54Z.png

Что даже немного не похоже не правду. Что-то я не так делаю с f(x).

Код


procedure TForm1.simpson;
var
  i,j:integer;
  x1,x2,x3:real;
  y,y1,y2,y3:real;
  a,b,c:real;

begin
  I_simpson:=0;
  SeriesSimpson.Clear;
  if N mod 2 <> 0 then
    EditSimpson.Text:=trim(EditN.text)+'%2!=0'
  else
    begin
      for i:=0 to N-1 do  // Проходим по всем разбиениям
        begin
          i_simpson:=i_simpson + ((points[i].xR- points[i].xL)*(funcs[i].fL+4*funcs[i].fM+funcs[i].fR))/6;  // Считаю.
          SeriesSimpson.AddXY(points[i].xL, funcs[i].fL); // Рисую.

          x1 := points[i].xL;
          x3 := points[i].xR;
          x2 := ( x1 + x3 ) / 2;
          //Здесь наверное создавать вложенный цикл и в нём добавляем точки для рисования параболы.
          for j:=1 to 10 do
          begin
            y1 := Fx(x1+j/10);
            y3 := Fx(x3+j/10);
            y2 := ( y1 + y3 ) / 2;

            a := ( y3 - ( x3 * ( y2 - y1 ) + x2 * y1 - x1 * y2 ) / ( x2 - x1 ) ) / ( x3 * ( x3 - x1 - x2 ) + x1 * x2 );
            b := ( ( y2 - y1 ) / ( x2 - x1 ) ) - a*( x1 + x2 );
            c := ( ( x2*y1 - x1*y2 ) / x2 - x1 ) + a*x1*x2;
            y := a*(x1*x1) + b*x1 + c;
            SeriesSimpson.AddXY( points[i].xL + j / 10, y );
          end;
        end;
      SeriesSimpson.AddXY(points[N].xL, funcs[N].fL);
      EditSimpson.Text:=floattostrf(i_simpson, ffGeneral, 4, 8);
      SeriesSimpson.Active:=false;
    end;
end;

Это сообщение отредактировал(а) KPEHDEL - 25.5.2013, 18:12

KPEHDEL

Дата 25.5.2013, 20:45 (ссылка)

(нет голосов)

Загрузка ...

Шустрый

Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 138
Регистрация: 31.3.2010

Репутация: нет
Всего: нет

Есть прогресс.
f(x) = sin(x): http://s2.ipicture.ru/uploads/20130525/mTX3NE1K.png
f(x) = x: http://s2.ipicture.ru/uploads/20130525/01C5cQhu.png

На интервале 8 разбиений, но так как вертикальные черты прорисовываются и от точек для параболы, выглядит будто их много.

Собственно 2 вопроса:
1. Это ведь не верно? Будь верно, на f(x) = x, мы бы увидели не сходимость, а искривления параболы? Или я что-то не понимаю?
2. Как убрать вертикальные черты от точек для параболы, которые задаются во вложенном цикле на каждом отрезке разбиения?

Если не верно, подскажите в чём и я продолжу разбираться. Код ниже.

Код:

Код


procedure TForm1.simpson;
var
  i,j:integer;
  x1,x2,x3:real;
  x,y,y1,y2,y3:real;
  a,b,c:real;

begin
  I_simpson:=0;
  SeriesSimpson.Clear;
  if N mod 2 <> 0 then
    EditSimpson.Text:=trim(EditN.text)+'%2!=0'
  else
    begin
      for i:=0 to N-1 do  // Проходим по всем разбиениям
        begin
          i_simpson:=i_simpson + ((points[i].xR- points[i].xL)*(funcs[i].fL+4*funcs[i].fM+funcs[i].fR))/6;  // Считаю.
          SeriesSimpson.AddXY(points[i].xL, funcs[i].fL); // Рисую.

          x := points[i].xL;
          x1 := points[i].xL;
          x3 := points[i].xR;
          x2 := ( x1 + x3 ) / 2;

          y1 := funcs[i].fL;
          y3 := funcs[i].fR;
          y2 := ( y1 + y3 ) / 2;

          //Здесь наверное создавать вложенный цикл и в нём добавляем точки для рисования параболы.
          while x < x3 do
          begin
            a := ( y3 - ( x3 * ( y2 - y1 ) + x2 * y1 - x1 * y2 ) / ( x2 - x1 ) ) / ( x3 * ( x3 - x1 - x2 ) + x1 * x2 );
            b := ( ( y2 - y1 ) / ( x2 - x1 ) ) - a*( x1 + x2 );
            c := ( ( x2*y1 - x1*y2 ) / x2 - x1 ) + a*x1*x2;
            x := x+0.25;
            y := a*sqr(x) + b*x + c;
            SeriesSimpson.AddXY( x, Fx(x) );
          end;
        end;
      SeriesSimpson.AddXY(points[N].xL, funcs[N].fL);
      EditSimpson.Text:=floattostrf(i_simpson, ffGeneral, 4, 8);
      SeriesSimpson.Active:=false;
    end;
end;

С нетерпением жду ответа.

Это сообщение отредактировал(а) KPEHDEL - 25.5.2013, 20:55

Фантом

Дата 25.5.2013, 21:09 (ссылка)

(нет голосов)

Загрузка ...

Вы это прекратите!

Профиль
Группа: Участник Клуба
Сообщений: 1516
Регистрация: 23.3.2008

Репутация: нет
Всего: 49

Цитата(KPEHDEL @ 25.5.2013, 21:45

)

1. Это ведь не верно? Будь верно, на f(x) = x, мы бы увидели не сходимость, а искривления параболы? Или я что-то не понимаю?

Прямая - частный случай параболы, так что все нормально. Коэффициент a у Вас везде в этом случае получается равным 0 (проверьте, если не лень), как и должно быть.

Цитата(KPEHDEL @ 25.5.2013, 21:45

)

2. Как убрать вертикальные черты от точек для параболы, которые задаются во вложенном цикле на каждом отрезке разбиения?

Ну, тут Вам виднее, как Вы их рисуете...

Beltar

Дата 25.5.2013, 22:00 (ссылка)

(нет голосов)

Загрузка ...

Опытный

Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 627
Регистрация: 11.1.2006

Репутация: 3
Всего: 7

Код


 a := ( y3 - ( x3 * ( y2 - y1 ) + x2 * y1 - x1 * y2 ) / ( x2 - x1 ) ) / ( x3 * ( x3 - x1 - x2 ) + x1 * x2 );
            b := ( ( y2 - y1 ) / ( x2 - x1 ) ) - a*( x1 + x2 );
            c := ( ( x2*y1 - x1*y2 ) / x2 - x1 ) + a*x1*x2;
            y := a*(x1*x1) + b*x1 + c;

1) Вычисления a, b, c из цикла выносятся.
2) Ты зачем в ф-ию подстваляешь x1, когда надо ее просто протабулировать от x1 до x2?

--------------------

Опытный программист на C++ легко решает любые не существующие в Паскале проблемы. smile

KPEHDEL

Дата 25.5.2013, 22:46 (ссылка)

(нет голосов)

Загрузка ...

Шустрый

Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 138
Регистрация: 31.3.2010

Репутация: нет
Всего: нет

Beltar,

Цитата

1) Вычисления a, b, c из цикла выносятся.

Да, вынес.

Цитата

2) Ты зачем в ф-ию подстваляешь x1, когда надо ее просто протабулировать от x1 до x2?

Ну в последнем варианте кода я так и делаю:

Цитата

x := x+0.25;
y := a*sqr(x) + b*x + c;
SeriesSimpson.AddXY( x, Fx(x) );

Если это верно. То проблема решена, всем спасибо smile

Ну и если кто-то знает как убрать вертикальные разделительные линии, которые появляются при использовании метода AddXY(x,y) для создания точки, буду благодарен...(Как не отображать известно, а вот как управлять отображением нужных из кода хз) А то что-то не могу найти. Быть может для этого надо использовать другой метод добавления точки?

Это сообщение отредактировал(а) KPEHDEL - 25.5.2013, 23:09

KPEHDEL

Дата 26.5.2013, 09:45 (ссылка)

(нет голосов)

Загрузка ...

Шустрый

Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 138
Регистрация: 31.3.2010

Репутация: нет
Всего: нет

Блин, я обнаружил ошибку... Всё не верно...
В коде выше, в этом куске:

Код


while x < x3 do
          begin
            a := ( y3 - ( x3 * ( y2 - y1 ) + x2 * y1 - x1 * y2 ) / ( x2 - x1 ) ) / ( x3 * ( x3 - x1 - x2 ) + x1 * x2 );
            b := ( ( y2 - y1 ) / ( x2 - x1 ) ) - a*( x1 + x2 );
            c := ( ( x2*y1 - x1*y2 ) / x2 - x1 ) + a*x1*x2;
            x := x+0.25;
            y := a*sqr(x) + b*x + c;
            SeriesSimpson.AddXY( x, Fx(x) );
          end;

При добавлении точки, подставляю Fx(x). Тем самым я просто рисую текущую функцию smile

Вычисленный y, нигде не используется... А должен подставлять y. Если подставлю y, то на графике полная белиберда.

Подскажите пожалуйста где ошибка и как правильно записать?

Это сообщение отредактировал(а) KPEHDEL - 26.5.2013, 15:45

KPEHDEL

Дата 26.5.2013, 19:42 (ссылка)

(нет голосов)

Загрузка ...

Шустрый

Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 138
Регистрация: 31.3.2010

Репутация: нет
Всего: нет

Нашёл одну ошибку.
Она заключалась в вычислении коэффициента C.

Код


// c := ( ( x2*y1 - x1*y2 ) / x2 - x1 ) + a*x1*x2; // так было
c := (x2*y1 - x1*y2) / (x2-x1) + a*x1*x2; // так нужно

Однако есть где-то ещё ошибка, график всё ещё не верен.
http://s2.ipicture.ru/uploads/20130528/Ypl6X4PA.jpg

К сообщению прикрепил архив с исходниками, возможно так будет проще найти ошибку.

Это сообщение отредактировал(а) KPEHDEL - 28.5.2013, 07:32

Присоединённый файл ( Кол-во скачиваний: 4 )

Программа_для_интегрирования.zip 575,86 Kb

KPEHDEL

Дата 28.5.2013, 09:29 (ссылка)

(нет голосов)

Загрузка ...

Шустрый

Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 138
Регистрация: 31.3.2010

Репутация: нет
Всего: нет

По мимо ошибки в вычислении коэффициента C.

Нашёл ещё одну ошибку. Зачем-то я на каждом отрезке интервала в X присваивал 0.
Теперь это выглядит так:
http://s1.ipicture.ru/uploads/20130528/UaOit895.png

Но это тоже не верно, не параболы( Помогите найти остальные ошибки.

Добавлено @ 09:44
Кажется я понял.

Фантом,
Я глупец, повёлся и не подумал)
Не x2=(x1+x3)/2, а x2=(x3-x1)/2 smile

И соответственно y2=(y3-y1)/2

И того получается:
на 8 узлах: http://s2.ipicture.ru/uploads/20130528/84eLj7gB.jpg

На 2 узлах: http://s2.ipicture.ru/uploads/20130528/8QLTO0xM.jpg

Но это ведь тоже не верно? Ведь Симпсон должен быть точнее, а на графике он что-то совсем не точен...

Это сообщение отредактировал(а) KPEHDEL - 28.5.2013, 10:00

Фантом

Дата 28.5.2013, 10:17 (ссылка)

(нет голосов)

Загрузка ...

Вы это прекратите!

Профиль
Группа: Участник Клуба
Сообщений: 1516
Регистрация: 23.3.2008

Репутация: нет
Всего: 49

Цитата(KPEHDEL @ 28.5.2013, 10:29

)

Я глупец, повёлся и не подумал)
Не x2=(x1+x3)/2, а x2=(x3-x1)/2 smile И соответственно y2=(y3-y1)/2

Это Вы как-то неудачно подумали. smile

Если сдвиг переменной не используется (а исходно предполагалось именно это), то там должна быть сумма.

KPEHDEL

Дата 28.5.2013, 10:29 (ссылка)

(нет голосов)

Загрузка ...

Шустрый

Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 138
Регистрация: 31.3.2010

Репутация: нет
Всего: нет

Фантом, беда. Тогда я в конец запутался.
Если делаю
x2=(x1+x3)/2, y2=(y1+y3) получается на графике вот что:
http://s1.ipicture.ru/uploads/20130528/4rMVCW6d.jpg
А это на Симпсона не похоже, скорее на трапеций.

Текущие исходники прикрепил к сообщению.

В чём может быть дело?

Это сообщение отредактировал(а) KPEHDEL - 28.5.2013, 10:30

Присоединённый файл ( Кол-во скачиваний: 2 )

Программа_для_интегрирования.zip 575,80 Kb

KPEHDEL

Дата 28.5.2013, 18:13 (ссылка)

(нет голосов)

Загрузка ...

Шустрый

Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 138
Регистрация: 31.3.2010

Репутация: нет
Всего: нет

Кажется я понял почему так получается.
При: x2=(x1+x3)/2, y2=(y1+y3)
У нас получается, что средняя точка. точна по середине. И того, все 3 точки расположены на прямой.
У Параболы такого быть не может.

Всё верно? Если да, то как быть? Как правильно посчитать третью точку?)

Кажется мне надо смотреть в сторону кривой Безье.

Это сообщение отредактировал(а) KPEHDEL - 28.5.2013, 18:34

Фантом

Дата 29.5.2013, 00:29 (ссылка)

(нет голосов)

Загрузка ...

Вы это прекратите!

Профиль
Группа: Участник Клуба
Сообщений: 1516
Регистрация: 23.3.2008

Репутация: нет
Всего: 49

Цитата(KPEHDEL @ 28.5.2013, 19:13

)

При: x2=(x1+x3)/2, y2=(y1+y3)

Откуда? y_i=f(x_i), расположены на одной прямой все три точки будут только в том случае, если Вы интегрируете линейную функцию (чего явно не наблюдается).

По-видимому, в этом и ошибка. x3 можно и нужно считать как среднее значение концов интервала x1 и x2, но к значениям функции это совершенно не относится.

1 Пользователей читают эту тему (1 Гостей и 0 Скрытых Пользователей)
0 Пользователей:
« Предыдущая тема \| Delphi: Общие вопросы \| Следующая тема »