Добрый день.

как найти центр многоугольника

Центр тяжести?

а что такое центр многоугольника?
а то ведь можно понапридумывать кучу центров:
1. центр тяжести
2. центр вписанной окружности
3. центр минимального круга, содержащего весь многоугольник
+еще какие-нибудь, которые в голову мне не пришли...

maxim1000, не учел...
центр тяжести.

Я опять же на примере VB объясню. Вот такой вариант мне недавно попался:

Код

' Find the polygon's centroid. Public Sub FindCentroid(ByRef X As Single, ByRef Y As Single) Dim pt As Integer Dim second_factor As Single Dim polygon_area As Single    ' Add the first point at the end of the array.    ReDim Preserve m_Points(1 To m_NumPoints + 1)    m_Points(m_NumPoints + 1) = m_Points(1) ' в массиве m_Points сидят точки многоугольника    ' Find the centroid.    X = 0    Y = 0    For pt = 1 To m_NumPoints ' очень хитрое вычисление =)        second_factor = _            m_Points(pt).X * m_Points(pt + 1).Y - _            m_Points(pt + 1).X * m_Points(pt).Y        X = X + (m_Points(pt).X + m_Points(pt + 1).X) * _            second_factor        Y = Y + (m_Points(pt).Y + m_Points(pt + 1).Y) * _            second_factor    Next pt    ' Divide by 6 times the polygon's area.    polygon_area = PolygonArea ' PolygonArea это функция которая возвращает площадь полинона    X = X / 6 / polygon_area    Y = Y / 6 / polygon_area    ' If the values are negative, the polygon is    ' oriented counterclockwise. Reverse the signs.    If X < 0 Then        X = -X        Y = -Y    End If End Sub

Вот функция PolygonArea и одна еще для нее нужная

Код

' Return the polygon's area in "square" pixels. ' Add the areas of the trapezoids defined by the ' polygon's edges dropped to the X-axis. When the ' program considers a bottom edge of a polygon, the ' calculation gives a negative area so the space ' between the polygon and the axis is subtracted, ' leaving the polygon's area. This method gives odd ' results for non-simple polygons. Public Function PolygonArea() As Single    ' Return the absolute value of the signed area.    ' The signed area is negative if the polyogn is    ' oriented clockwise.    PolygonArea = Abs(SignedPolygonArea()) End Function

Код

' Return the polygon's area in "square" pixels. ' Add the areas of the trapezoids defined by the ' polygon's edges dropped to the X-axis. When the ' program considers a bottom edge of a polygon, the ' calculation gives a negative area so the space ' between the polygon and the axis is subtracted, ' leaving the polygon's area. This method gives odd ' results for non-simple polygons. ' ' The value will be negative if the polyogn is ' oriented clockwise. Private Function SignedPolygonArea() As Single Dim pt As Integer Dim area As Single    ' Add the first point to the end.    ReDim Preserve m_Points(1 To m_NumPoints + 1)    m_Points(m_NumPoints + 1) = m_Points(1)    ' Get the areas.    For pt = 1 To m_NumPoints        area = area + _            (m_Points(pt + 1).X - m_Points(pt).X) * _            (m_Points(pt + 1).Y + m_Points(pt).Y) / 2    Next pt    ' Return the result.    SignedPolygonArea = area End Function

Думаю суть по этим примерам ясна становится.

Но не думаю, что так делать очень хорошо. Вот то что я придумал не так давно:
http://forum.vingrad.ru/index.php?showtopi...ndpost&p=269058
Соответственно все гораздо проще можно сделать, но пока второй вариант я не проверял - времени нет...

Читай, думай...

Функция плотности известна?

тело однородно

Значит так, что-то не то...

Многоугольник какой?

Я думал приблизить его какой-нить функцией (если он очень много-многоуголник). И по интегралу от функции плотности...

если я правильно понял ссылку cardinal' a то это просто сумма координад деленная на их количество. так?

Цитата(_hunter @ 11.12.2004, 19:14)

то это просто сумма координад деленная на их количество. так?

Да, должно быть так
Все координаты x поделив на их кол-во должно дать координату x центра тяжести, тоже самое с y...
, но как я уже сказал еще не проверял

ну если подумать над общей процедурой определения центра тяжести, то она выглядит так: интеграл коррдинат по плотности (x*= (1/m) * I x dF(x) )
очень часто для нахождения центра тяжести можно пользоваться свойством аддитивности
можно рассмотреть три случая (на самом деле их куча, но эти довольно характерны):
1. тяжесть сосредоточена в вершинах многоугольника
в этом случае интеграл вырождается в обычную сумму
так что просто берем среднее арифметическое всех вершин (как векторов)
если массы разных вершин отличаются, то нужно брать средневзвешенное с коэффициентами, пропорциональными массе вершины
2. тяжесть равномерно распределена по границе многоугольника (как будто из проволоки)
a. представим многоугольник в виде набора отрезков
b. для каждого отрезка находим свой центр масс
c. находим среднее взвешенное среди всех этих точек
3. тяжесть равномерно распределена по всему многоугольнику
в этом случае можно разбить его на треугольники (как для них искать центр тяжести, известно)
а потом опять же как в случае с отрезками считаем центр тяжести многоугольника через центры тяжести и массы его частей
P.S.
под средневзвешенным я подразумевал такое:
(x1*m1+...+xn*mn)/(m1+...+mn)
Добавлено @ 22:30
в общем идея одна:
разбить тело на конечное количество частей, для которых просто посчитать центр тяжести, а потом собрать...

Я бы на скорую руку даже сказал, что разницы между этими случаями нет (если массы разных вершин в первом случае не отличаются)

1. тяжесть равномерно сосредоточена в вершинах многоугольника
=

Цитата(maxim1000 @ 11.12.2004, 21:29)

2. тяжесть равномерно распределена по границе многоугольника (как будто из проволоки)

=

Цитата(maxim1000 @ 11.12.2004, 21:29)

3. тяжесть равномерно распределена по всему многоугольнику

Цитата

Я бы на скорую руку даже сказал, что разницы между этими случаями нет

представим себе равносторонний (да и вообще, любой) треугольник
пока все хорошо, для треугольника, действительно, все три варианта одинаковы (именно поэтому в 3-м случае оказалось проще всего делить многоугольник на треугольники)
теперь выбираем на одной из сторон точку, нарекаем ее вершиной, это также приводит к тому, что сторона треугольника делится на две
как это повлияет на центр тяжести в разных случаях:
1. центр тяжести сместится в сторону новой точки (т.к. там появилась дополнительная масса)
2, 3. ничего не изменится, т.к. мера новой вершины с точки зрения что длины, что площади нулевая, а значит, ничего не меняет
таким образом, 1 вариант отличается от двух других
для того, чтобы продемонстрировать отличие 2 от 3 сделаем следующее:
возьмем треугольник (неважно какой)
заменим одну из его сторон чем-то вроде пилы (так, чтобы площадь не изменилась), таким образом, длина этого куска проволоки увеличилась (значит, центр тяжести сместился), а с точки зрения площади практически ничего не изменилось (если взять достаточно мелкие зубцы на "пиле")

maxim1000, да согласен - есть такое.

Тогда мы делаем различие между тем давит определенная сила только на точки описывающие фигуру или равномерно на всю площадь.
Если сила действует только на точки описывающие фигуру, то пойдет вариант, который я описал выше, если на площадь то пойдет та функция написанная на VB или то, что я написал в той теме, на которую ссылку дал выше, а именно:

Цитата

мы их заливаем. Как? Без разницы, тут пока не в эффективности дело. Берем и заливаем рекурсивно, как до этого было описано начиная с любой внутренней точки объекта (например центр круга). Теперь есть две формулы, по которым мы получим x и y координату точки равновесия (центр тяжести). На картинке попытался объяснить кто такие xi и yi. Это координаты каждой точки Pi, которая пренадлежит той или иной фигуре (какой без разницы). Gi эта сила, которая давит на каждую точку.

Если он выпуклый и даны координаты его вершин- то центр это среднее арифм. всех Х и соотв. У