На краю круглой поляны на верёвке привязана коза. Какой должна быть длина верёвки, чтобы коза съела только половину травы на поляне?

S= pi*R^2|
S1=pi*r^2| => r=R/sqrt(2).
S1=S/2 |

S - площадь поляны
S1 - площадь нужная для съедения
R - радиус поляны
r - длина веревки
sqtr(2) - корень квадратный из 2
Добавлено @ 17:28
только что здесь сложного или интересного

Цитата

S1=pi*r^2| => r=R/sqrt(2).

Kaк это получилось?
Добавлено @ 17:57
Это что, выходит что r < R ?

то есть длина веревки короче чем радиус поляны? Это неверно, т.к. даже если r будет равен R (r = R), то останутся недоеденные углы. Tак что r (длина веревки) однозначно должен быть больше чем R
Добавлено @ 17:58
Femida

в принципе можно пойти тупым путем:
выразить съеденную площадь через радиус веревки и приравнять ее к 1/2
только там получается совсем неудобное уравнение, которое решается разве что численно...

Добавлено @ 18:11
А-а, не внимательно прочитал условие. Баран на краю должен быть. Пардон.

Sкруга=PI*R*R
Sкозы=PI*R*R/4=Sполя/2
Rкозы=sqrt(2*Sполя/PI)

Добавлено @ 18:18
Это в том случае, если радиус веревки меньше сторон поля.
Добавлено @ 18:19
Тьфу блин. Поляна круглая, а не квадратная.

S=pi*R^2 - площадь поляны
S2=pi*R1^2 - площадь круга, на который коза может двигаться( на сколько ей позволяет веревка длиной R1)
S1=S2-S=S/2 (*) - что она должны съесть, т.е. половина поляны.
решая это уравнение получаем
S2=S*3/2, подставляя сюда формулы для вычисления площади круга, имеем
R1=R*sqrt(3/2)=R*1,227

Это сообщение отредактировал(а) Femida - 15.9.2005, 14:20

Цитата

S1=S2-S=S/2 (*) - что она должны съесть, т.е. половина поляны

а я не понял
откуда взялась разность?
то, что коза ест - это пересечение ее круга и поляны

maxim1000

Цитата(maxim1000 @ 14.9.2005, 17:04)

выразить съеденную площадь через радиус веревки и приравнять ее к 1/2

Интегрировать?

Площадь растет в квадратичной зависимости от радиуса?

Цитата(neutrino @ 16.9.2005, 10:28)

Площадь растет в квадратичной зависимости от радиуса?

нет.

Математическое решение

S_сектора = pi*R*R*(угол АОВ) /360
S_треугольника= R*R*cos(угол АОВ/2)*sin(угол АОВ/2)
S_шапки (розовой)= S_сектора - S_треугольника
где R радиус круга
Теперь картинка какая в задаче:

Необходимо найти площади шапок АО_оВ (красной шапке на рис.)
и площадь шапки АО_кВ (не закрашена)
где О_о - центр круга опушки
О_к центр круга веревки козы
(по верхним формулам)
Условие S_шапка_красная+S_шапка_не_закрашена=S_поляны / 2
Осталось выяснить углы:
cos(альфа)=(R_k/2) / R_о
бета=360-2*(180-2*альфа), но для угла шапки опушки нам необходим угол 360-бета, что равняется 360-4*альфа.
Если углы все известны (выходят из отношения радиуса опушки к радиусу веревки козы) и радиус опушки известен , то нетрудно расчитать радиус веревки(то есть длинну).

ЗЫ только вывести одну формулу типа R_k(веревка)=функция(R_o), радиус опушки затруднительно , т.к. в формулах есть cos и sin так что только методом перебора скорее всего удачи, и плюс методы оптимизации ответа

Жуткая задачка.
Ощущение как после просмотра фильма "Звонок"

Цитата(Femida)

решая это уравнение получаем

это... можно поподробнее здесь? у меня не получается...

Цитата

выразить съеденную площадь через радиус веревки и приравнять ее к 1/2

вот - выразил площадь через радиусы, кто желает может приравнять (Rx - радиус поляны, Ry - длина веревки):
http://motronline.com/photo/data/media/3/S.jpg

ЗЫ: !!! Rx<Ry !!!

Это сообщение отредактировал(а) Batou - 16.9.2005, 12:23

Цитата(Batou @ 16.9.2005, 11:59)

выразил площадь через радиусы, кто желает может приравнять  (Rx - радиус поляны, Ry - длина веревки)

Что обозначает корень в выражении ( смысл его не доходит )
И как получились формулы под arccos - сами?

Цитата(Batou @ 16.9.2005, 11:59)

ЗЫ: !!! Rx<Ry !!!

Скорее всего да длинна веревки будет более чем радиус поляны

Корень - это площадь треугольника xAy по длинам его сторон (x,y- центры окружностей , А - одна из точек пересечения окружностей). Арккосинусы - вычисление центральных углов секторов по тем же длинам сторон.

Мдя... смотрю я на твою формулу и въехать в нее не могу
если корень это площадь треугольника (правда мне не понятно какого, т.к. их там два ?)
, то я понимаю что 2 перед корнем это учет двух треугольников секторов Rx и Ry ? если так , то по моему мнению они не равны! И вооще по какой формуле считается площадь треугольника ... Герона?
И если всетаки условились , что Ry>Rx, то какой будет ответ arccos( Ry / Rx) ???
(хотя тоже ,для меня осталось загадкой способ получения этих углов )