Сегодня мне вдруг стало любопытно(бывает стукнет в голову, а потом заснуть не можешь), а какое может быть максимальным расстояние между двумя последовательными простыми числами.
Если рассуждать по простому, то раз ряд простых чисел бесконечен, то, наверное, всегда можно найти такую пару простых чисел A,B, между которыми будут стоять X составных чисел. Но это по простому, исходя из наблюдения, что в самом начале ряда натуральных чисел простых чисел сравнительно много. Но с другой стороны читал, что простые числа распределены неравномерно в том плане, что возможно найти такое N (неопределенно большое число, не помню точно какое), что чуть ли не каждой нечетное число после N до определенного момента будет простым. Вот я и думаю, может существует какой-либо предел расстояния между двумя простыми числами? И, главное, почему.

у меня где-то была эта задачка... может Перельман "Занимательная математика"... читал?

Странно... Пока неизвестно распределение простых чисел, видимо невозможно доказать/опровергнуть сабж.

Теорема.

Для любого сколь угодно большого N существует пара последовательных простых чител, между которыми находится не менее N составных.

Доказательство:

(N+1)! + 2 делится на 2
(N+1)! + 3 делится на 3
...
(N+1)! + N + 1 делится на N + 1

т.е. между ближайшим снизу к (N+1)! + 2 и ближайшим сверху к (N+1)! + N + 1 простыми находится не менее N составных.

Dixi.

Ух ты. Класс.

Только вот мне кажется, что то расстояние которое получается у Akina - это минимальное расстояние, а не максимальное...
А максимального из тех же рассуждений быть не может.

Цитата(cardinal @ 16.8.2005, 23:38)

олько вот мне кажется, что то расстояние которое получается у Akina - это минимальное расстояние

Минимальное расстояние(пусть расстояние - это модуль разности двух последовательных простых чисел) м-ду двумя последовательными простыми числами строго говоря 1 (вслед за простой двойкой следует не менее простая тройка).

Кстати, интересно, а если взять близнецов(5 и 7, 1.000.037 и 1.000.039, и т.п.), то как доказать что их существует бесконечно много? Пару лет назад в газете не математической направленности вроде была скромная заметка, что это доказано. Впрочем без каких либо URLов и мат выкладок

Цитата(cardinal @ 16.8.2005, 23:38)

А максимального из тех же рассуждений быть не может.

Угу.

Действительно, доказано, причем не пару лет назад, а лет 40-50 назад - читал у кого-то из монстров, балующихся научно-популярным пописыванием (вроде Литтлвуд)... но ЭТО доказательство потянуло на докторский диссер.