Спасибо, ошибся...

Добавлено через 2 минуты и 47 секунд
Но способ всё равно рабочий:
9  ??? (1+1/9)^9
9  ???  (9/10)^-9
lg9 ??? -9lg9/10
      >

Ну уж степени двойки должен знать каждый 

Кажись, в 9-м классе уже проходят замечательные пределы, поэтому думается, что через них эта задача решается достаточно просто:

Выражение в правой части - ни что иное, как "второй замечательный предел", который, как известно, равен e~= 2,78. Таким образом, при X>e у нас будет всегда выполняться условие x^(x+1)>(x+1)^x.

каждый... программер   

их вообще в обычной школе не проходят   
ama_kid, с помощью предела ты доказал, что начиная с некоторого х (возможно очень большого) x^(x+1) > (x+1)^x и не более того.
Тем более из 2 можно сразу получить 7

Не, не проходят 

ivashkanet
Правая часть неравенства - стремится к е=2,78... снизу, левая - представляет собой саму величину Х, так что  никакого "возможно очень большого". После того, как х станет больше е - неравенство становится гарантированным... 
Ну да, здесь я просто показал ход своих мыслей...

Учась в обычной школе, я проходил их в 9-м классе...

А где это видно?

Интересная школа   

Это откуда видно? lg9/10 - число отрицательное.
ivashkanet, дайте уж тогда список требований, а то, что не скажи, всё не проходили... 
З.Ы.: Вообще, интересно было бы у препода потом спросить...

Ryoga,                     
Так я же говорил, что главный критерий --- возможность не только рассказать 9-тиклассникам обычной школы (оно есть см. первый и третий посты и мой третий пост), а еще, чтобы они могли сами до этого додуматься (обычный ученик, который имеет 5, но не более того (не олимпиадник)).

У какого? 
Я сам себе препод   (высшее мат образование ;-) )

Это есть свойство предела - его область значений равна (1,е). Но можно попробовать доказать:
Подставим х=1: имеем lim(1+1/1)^1 = 2<e. Теперь предположим, что у нас имеются некоторые значения х>e, удовлетворяющие изначальному пределу => тогда можно утверждать, что должно существовать конечное решение уравнения (1+1/x)^x=e или (1+1/x)=e^(1/x) (точка пересечения этих функций). Другими словами, нам надо найти такое х0, для которого удовлетворяется условие lim((1+1/x)/e^(1/x))=1 при х->x0. Применив правило Лопиталя для наших функций (а они удовлетворяют всем условиям правила Лопиталя), мы получаем, что lim((1+1/x)/e^(1/x))=lim(1/e^(1/x)) и приравнивая это выражение к требуемой единице, мы получаем, что оно выполняется ТОЛЬКО для х=INF, следовательно условие lim((1+1/x)/e^(1/x))=1 выполяняется только для х0=INF. Никакое другое x0 не даст требуемого равенства. Поэтому конечного решения нашего уравнения (1+1/x)=e^(1/x) нет, и следовательно исходное предположение о наличии точек по другую сторону от прямой e неверно... Уффф... доказал, как смог, если где недоглядел - звиняйте... 
А причем тут именно моя школа? Я, конечно, не буду давать руку на отсечение, но материал для 9-го класса не такой уж и сложный... Естественно, доказательство второго предела, связанное с монотонной ограниченной последовательностью, в школе не дают (и я его узнал только в институте да и то - не до конца понял), но само понятие пределов - это материал не сложный и, имхо, входит в базовый набор обучения... Я даже вот статью откопал: Начала математического анализа в средней (базовой) школе - там все излагается вполне доступным для девятиклассника языком и про замечательные пределы тоже написано (прошу обратить внимание на слово "базовой" в заголовке - это даже не "полной средней школы")...

ivashkanet, да кто там помнит, что в этом девятом классе проходят, да и школы разные - вон, мнения уже разделились... 

Я, если честно, подумал, что эта задачка попалась какому-нибудь младшему брату/племяннику/знакомому или что-то в этом роде, вот и предложил потом спросить у препода, который его дал. Видимо, я не так понял...

мне кажется, можно заявить, что, мол, до десятки люди знают значения десятичніх логарифмов наизусть 
тогда:
8^9 == 2^27
9^8 == 3^16
2^27 ?? 3^16 ===> 27lg(2) ?? 16lg(3)
27/16 ?? lg(3)/lg(2)
27/16 ?? 0.477/0.301
27/16 ?? 1.585
1.6875 > 1.585


Добавлено через 6 минут и 42 секунды
что-то решение не пришло :( может, в школу вернуться - доучиться....

непохоже, чтобы они удовлетворяли первому условию...
(либо 0/0, либо бесконечность/бесконечность)

зато пришло в голову такое доказательство:

f(x)=(1+1/x)^x не имеет никаких проблем с дифференцируемостью при x>1, так что достаточно доказать, что её производная положительна: g(x)=ln(1+1/x) - 1/(1+x) > 0

предел g на бесконечности - 0
для доказательства её положительности достаточно доказать, что она всегда убывает
дляэтого возьмём и её производную: h(x)=1/(1+x) * (1/(1+x)-1/x)
множитель 1/(1+x) на знак не влияет, а 1/(1+x)<1/x
так что она отрицательна

значит, g убывает и при этом стремится к нулю
значит, она положительна
значит, f возрастает и при этом стремится к e
значит, f(*)<e

maxim1000
+1 тебе по репе за доказательство моего утверждения...   
Доказывать можно по-всякому, но у меня есть желание довести свое доказательство до конца, поэтому в ответ нада, я согласен, тут недоглядел, но в свете этого - не требуется даже применять правило Лопиталя:
(1+1/x)=е^(1/х)  - это уравнение, которое необходимо решить для x>0. Если существует конечное решение - тогда имеются точки пересечения соответствующих кривых (см. мой пред. пост). Модифицируем это уравнение след. образом - домножим обе части на е: ((1+1/x)*е)=(е^(1/х)*е)  или ((1+1/x)*е)=е^(1+1/х). Обозначим (1+1/x)=t тогда уравнение принимает вид: e*t=e^t или е^(t-1)=t. Это уравнение имеет единственное (тривиальное) решение при t=1 (Если кому-нибудь потребуется доказательство даже этого утверждения - возьмите первую производную и убедитесь, что на участке (1, -INF) производная левой части меньше единицы, а правой - равна 1, следовательно левая часть уменьшается медленнее правой, а на участке (1, INF) - аналогично, возрастает быстрее правой, а значит точек пересечения кроме t=1 у них быть не может). Таким образом 1+1/х = t = 1, а это условие выполняется только для x=INF. Следовательно, конечного решения не существует, следовательно... ну и т.д по тексту моего предыдущего поста...

P.S. Боже, как давно я проходил матанализ...  Мне даже доставила несравненное удовольствие такая разминка для мозгов...