Всем программистам привет! Respect! В общем столкнулся с решением уравнения методом простой итерации: решить уравнение Х=Фи(Х). Очередное приближение корня находится по формуле Хn = Фи(Хn-1); начальное приближение Хо задается произвольно. Метод сходится если Фи штрих(Х) по модулю менее 1.  Стал рыскать в инете нашел кучу инфы(про методы Якоби, Кунге), но конкретно как бы и ничего. Разбираться с производными некогда(уже этого почти не помню), может кто нибудь делал ранее подобное, то выложите код или подскажите схему реализации. Реализую сам, т к это элементарно, главное понять логику. Подскажите как быть то?

В данном случае достаточно написать

Тогда ответом будет x.
А производные даны для того, чтоб решающий знал, что если в какой-то точке производная больше единицы, то такой метод не подходит.

Это сообщение отредактировал(а) anonym - 11.8.2007, 17:37

Хо используют в методе Ньютона. В общем допустим у меня есть некое уравнение:
 Y(X) = x * x - 2x + 1 и его необходимо решить методом простых итераций. Т е по правилам математики необходимо решить уравнение х*х - 2х +1 =0, а так придется предположить, что допустим х = 2(любое, желательно максимально близкое). Т е если я правильно понимаю, то это и есть Хо(2).   
Метод простых итераций решения уравнения f(x) = 0 состоит в замене исходного уравнения эквивалентным ему уравнением x = Фи (x) и построении итерационной последовательности по формуле:

Хi+1 = Фи(Хi), i = 0,1,2,3,4..

может Фи штрих это есть разность Хi+1 - Xi? и она должна быть менее 1. 

Вот начинаю: сначала проверяю Хо =2:
2 = 2*2-2*2+1  -не верно, значит необходимо изменить анализируемый корень в меньшую сторону. Приращние задаю допустим 0.1
2 итерация:
1.9 = 1.9*1.9-2*1.9+1  - не верно ..
и таким образом добираюсь до 1 и в ерзультате получаю один из корней(через 10 итераций)? или как то не так? Подскажите как быть то?

Добавлено через 1 минуту и 31 секунду
и что еще интересно, у меня нет самой анализируемой функции, т е ее необходимо чтоли придумать самому или сделать возможность вводить само выражение функции с клавы. Тоже не очень понятно?

в общем написал прогу, обрабатывающую не все корни, но считающую правильно и жестко привязанную к конкретной реализации:



но все равно осталось куча нерешенных задач. Если пользователь введет значение предполагаемого корня, например -100, то будет сообщение уменьшить значение, когда необходимо увеличивать, все из за корня квадратного. Также нет возможности определить корень равным 1. А так ответ правильный получился, все перепроверил. Эх.



Присоединённый файл ( Кол-во скачиваний: 5 )
 3600.JPG 27,69 Kb

FasterHarder, у меня сложилось впечатление, что ты заново изобретаешь велосипед. Посети algolist.manual.ru.

Твой пример  не катит. Потому что если преобразовать его к виду x = f(x), мы получим, что f(x) = (x^2 + 1) / 2. Если мы берём начальное приближение на отрезке [a, b], то на (a, b) должно выполняться условие f'(x) < 1. Говоря математическим языком, в некоторой окрестности точки M (M - корень функуии) функция f(x) должна быть дифференцируема, и при этом должно выполняться |f'(x)| < 1.

Это сообщение отредактировал(а) anonym - 12.8.2007, 15:47

где увидел икс в квадрате? я использую икс в кубе. в общем не понял тебя.

Да я просто твою цитату привёл  

Добавлено через 1 минуту и 41 секунду

Да, кстати фи штрих - это и есть не что иное, как производная функции фи.

Добавлено через 8 минут и 12 секунд
Можно подставить x0 = 0.5 Тогда f'(x0) = (2*x0 + 0) / 2  = x0 = 0.5
Тогда x1 = f(x0) = (x0^2 + 1) / 2 = 0.625
x2 = (x1^2 + 1) / 2 = 0.695
x3 = (x2^2 + 1) / 2 = 0.74
и т.д.