Глава "Математические умозаключения" - мне ничего не понятно.

Помогите решить насколько задачек. Распишу по одной в разных темах, как требуют    модераторы   

1. Являтся ли множества счетными когда:
        
           a) the real numbers with decimal representation of all 1s or 9s

если да, то надо показать one-to-one correspondence (взаимно-однозначное соответствие, одно-однозначное соответствие).

Множество действительных чисел (real numbers) не является счётным, а вот множество рациональных (rational number) - является.
Но как понять фразу 

я не понял. Это типа состоящие только из цифр 1 и 9, или как?

если это предположение правильное, то множество несчётное
множество чисел, использующих в записи только 1 и 9 эквивалентно множеству чисел только с 0 и 1 в записи, а это множество, в свою очередь, эквивалентно множеству действительных чисел, записанных в двоичной системе

Предложение правильное.



Ничего не понятно   



Насколько я понимаю это десятичное представление только единиц или девяток.

представление числа - последовательность цифр
так вот мощность множества, описанного в задаче не изменится, если вместо 1 и 9 использовать 0 и 1
с другой стороны именно такое множество получится, если все действительные числа представить в двоичном виде

maxim1000, 

Ну так что, господа математики, множество несчетное? Отмечаем тему как "решенная"?

  

К сожалению, не все так просто. Пусть мы считаем 1 эквивалентным 0, а 9 эквивалентным 1. Тогда у нас получается что числу 1 в двоичной системе будет соответвовать бесконечно много чисел в десятичной:
9
19
119
1119
.....

Если вместо десятичной системы использовать троичную, то проблема будет в том, что не для каждого числа в троичной записи, можно будет поставить число в десятичной записи.

да, похоже на то
в этом случае можно сделать оговорку, что действительных чисел в двоичной системе даже чуть меньше
но т.к. они несчётны, то и множество с 1 и 9 тоже будет несчётно

Да, мы имеем множество не менее мощное чем множество действительных чисел, поэтому можно считать, что оно тоже не счетно.

Быть может я не понимаю слово representation(представление), но



Это возможно? По-моему даже 1/9 не представима в двоичном виде. А что там с корнем из двух? А с числом pi? Множество чисел, которые можно записать в двоичном виде не равномощно множеству действительных чисел. Ибо само множество чисел, которые можно записать в двоичном виде счётно (каждому натуральному числу соответсвует определенное число в двоичной системе счисление и наоборот).



есть метод не то цифр, не то чисел (читал не то в "Математической логике" Клини, не то у Ван дер Вардена. Но скроее у Клини).  Общее положение метода такое --- если каждый элемент множества R можно записать как конечное слово из алфавита в Q букв, то множество R счетно. [для 1-1 соответсвия с множеством N надо просто писать натуральные числа в системе счисления по основанию Q].  

Каждый элемент множества a) представим в системе со следующим алфавитом:
0 = [не значащий ноль]
1 = 1
2 = 9
3 = .


Соответственно множество равносильно множеству всех слов в троичной СС. А оно счётно, ибо каждое натуральное число представимо в 4-ной системе счисления. 

Только при построения соответсвия надо обратить внимание на то что "..1..1. ." не имеет смысла. Ну то есть строить соостветсвие с 4-ной системой начнём так:

1(4-ная) = 1(множество задачи а))
2 = 9
3 = .
10 = 1_ 
11 = 11
12 =19
13 = 1.
20 = 9_
21 = 91
22 = 99
23 = 9.
30 = ._
31 = .1
32 = .9
33 = ..
100 = 1__
101 = 1_1
102 = 1_9
103 = 1_.
110 = 11_
111 = 111
112 = 119
113 = 11.
120 = 19_
121 = 191
122 = 199
123 = 19.

[как видим слева счётное множество, справа надмножество множества задачи а) ]

теперь "сдвигаем" все осмысленные записи чтобы "вычеркнуть" записи не из а)
1(4-ная) = 1(множество задачи а))
2 = 9
3 = 11
10 = 19
11 = 91
12 = 99
13 = 111
20 = 119
21 = 191
22 = 199
23 = 1.1
30 = 1.9
... так далее


вуаля. счётное множество.

ps. надеюсь не слишком сумбурно изложил.

Это сообщение отредактировал(а) Mayk - 9.2.2008, 15:32

А какие числа можно записать в двоичном виде?


Вы меня совсем запутали   

Так какое же это множество   ? 

А если счетное то это и есть one-to-one correspondence (взаимно-однозначное соответствие, одно-однозначное соответствие)??

Натуральные. Множество натуральных чисел равномощно множеству [натуральных же] чисел в двоичной системе счисления.
Число pi не возможно представить в двоичной системе счисления, хотя бы поэтому R неравномощно числам, представимым в двоичной же системе.


угу. можно придумать ещё несколько соответствий. Например посмотри как доказывается счётность множества рациональных чисел m/n и действуй по аналогии. Только вместо знака '/' будет точка. Вместо m и n \in N будут  числа из единиц и девяток. В этом вся разница отличие твоего множества a) от мн-ва Q. То есть в контексте счётности никакой разницы нет.


Это сообщение отредактировал(а) Mayk - 9.2.2008, 16:57

Ну как же все это понять.. 
Всем спасибо за объяснения! Может посоветуйте какую-нибудь литературу на эту тему на русском языке. Я имею ввиду что-нибудь с доступным для "..." изложением. 

Постарайся найти "Математическую логику" Клини. Метод цифр/чисел там очень ясно расжеван. С помощью него задача счетности для мн-ва а) решается с ходу. Как и задача счётности мн-ва Q. Как и множества всех формул типа "12a**2+b=32". И ещё куча множеств.

Добавлено @ 17:05
ISBN 9 785364 010110. "Математическа логика" Клини. Страница 210

Добавлено @ 17:05
Метод цифр

Добавлено @ 17:08


PS. млин. а где нижний индекс   

Это сообщение отредактировал(а) Mayk - 9.2.2008, 17:10

Спасибо! Ищу..