Здравствуйте) Скажите пожалуйста как создать такое диалоговое окно, может быть уже есть готовые решения, статьи на эту тему. Вопрос на будущее: как прикрутить его к сайту, созданному на "1С-Битрикс"? Очень важен вопрос на первый вопрос, искал информацию в нете, не нашел, поэтому решил обратиться сюда(

Не уточнил, мне нужен такой дизайн, а не обработка конкретного этого события) 

В смысле «дизайн»?   Одна надпись и две кнопки — это дизайн, который вам нужен?

Это стандартное окно, создаваемое и показываемое браузером при возникновении события onbeforeunload. Причем в разных браузерах выглядит по-разному.

Блин, есть сайт(страница сайта), например нажимаем на ссылку, после нажатия появляется запрос(диалоговое окно, окно запроса, окно которое возникает, если использовать тег confirm ) с вопросом вы хотите перейти по этой ссылке. Вопрос как можно изменить дизайн этого всплывающего окна?

Дизайн стандартного модального окна типа alert, prompt, confirm и т. д. поменять нельзя. Можно с различным успехом имитировать такое окно при помощи свободно позиционируемых контейнеров (например, абсолютно позиционированного DIV), которым, конечно, можно придать любой дизайн при помощи HTML и CSS. Однако такие самодельные окна уже не будут истинно модальными (истинную модальность возможно реализовать только в IE). Соответственно, более или менее уверенного пользователя таким образом не обмануть.

Я правильно понял, что если я хочу создать на сайте вызов всплывающего окна по нажатию на какую-нибудь ссылку с вопросом "Вы действительно хотите перейти по этой ссылке?" и ответами "да" и "нет", то это сделать невозможно, кроме как используя тег confirm на ссылке и дизайн окна, которое вызывается в этом случае изменит нельзя?

Стандартные всплывающие окна не имеют таких настроек
Но можно воспользоваться готовой библиотеку, к примеру http://jqueryui.com/demos/dialog/#modal-confirmation