Очень прошу помогите решить задачку по стереометрии! Собственно задача:

Цитата

Докажите, что сумма квадратов расстояний от любой точки окружности, описанной около равностороннего треугольника, до его вершин есть величина постоянна(есть по крайней мере три разных способа решения)

Ребят.. Помогите пожалуйста, оч надо. не могу решить

представим себе окружность вокруг треугольника ABC (равтостороннего)
на дуге BC произвольно выбираем точку X
от нее отходят три отрезка: AX, BX, CX
получается три треугольника: AXB, AXC, BXC
для каждого из них пишем теорему косинусов:
сразу разберемся с углами:
AXB=AXC=60, т.к. опираются на ту же дугу, что и ACB и ABC
BXC=180-60, т.к. опираются на дугу BC с другой стороны от BAC
так что сразу подставим значения косинусов в выражения:
1.AB2=AX2+BX2-AX*BX
2.AC2=AX2+CX2-AX*CX
3.BC2=BX2+CX2+BX*CX
(2-ки означают квадраты)
все эти выражения равны (треугольник равносторонний)
сравниваем два первых уравнения, получаем:
BX2-AX*BX=CX2-AX*CX
BX2-CX2=AX(BX-CX)
BX+CX=AX
теперь просто складываем все три первых уравнения:
const=2(AX2+BX2+CX2)-AX*BX-AX*CX+BX*CX
осталось доказать, что AX*BX+AX*CX-BX*CX=const
преобразовываем: AX2-BX*CX=const (это осталось доказать)
а доказывается это просто:
берем третье уравнение:
const=BX2+CX2+BX*CX=BX2+CX2+2*BX*CX-BX*CX=(BX+CX)2-BX*CX=AX2-BX*CX
все...
P.S.
сильно подозреваю, что можно сократить
дело в том, что я просто крутил задачку с двух концов, и в одном месте (AX=BX+CX) они сошлись, вполне возможно, что держа в голове весь путь доказательства, его можно будет проделать несколько короче...

Этож дык не трудно=)
Вот у нас есть+)

В треугольнике APC применяем тиорему косинусов

Для треугольника APC получаем
a=AP(2)+PC(2)-2*AP*PC*COSy
Для треугольника ABP делаем тоже самое+)
a=AP(2)+PB(2)-2*AP*PB*COSy
COSy=0.5 и для угол обоих треугольников одинаков, т.к оприается на одну и туже дугу+)

Складываем 2 эти уравнения
Получаем 2*a=2*AP(2)+PB(2)+PC(2)-AP*(PC+PB)
PC+PB=AP (доказано ниже)
Следовательно
2*a=AP(2)+PB(2)+PC(2)

Теже самые действия делаем для APC1
потом приравниваем два полученных уранения и получаем равенство относительно 2*a
ДОКАЗАНО+)


Насчет PC+PB=AP
Можно использовать тот же рисунок
Цель последующего
Отложим на луче AP отрезок AP1, равный отрезку CP. Тогда треугольники AP1B и CPB равны по двум сторонам и углу между ними. В треугольнике BPP1
BP1 = BP, BPP1 = BPA = BCA = 60град.
Поэтому PP1 = BP. Следовательно,
AP = AP1 + P1P = BP + CP
AP = BP + CP


Примечяние:
То что в скобках , это квадрат(2) +)
*-умножение+)

Не лёгкий путь....но ничего трудного нет
Добавлено @ 18:03
maxim1000

Немного не успел

Парни! Огромное вам спасибо! Что бы я без вас делал?! Я хотел вам репутацию добавить, дык мало сообщений(пока ).
P.S. Комментарий не по теме: Я написал уже два сообщения, а форум пишит что пока их 0...это связано с установкой нового диза или как? Странно...

Это сообщение отредактировал(а) Virun - 10.1.2006, 18:17

Virun

Цитата(Virun @ 10.1.2006, 18:13 )

Парни! Огромное вам спасибо! Что бы я без вас делал?!

Решал бы сам)
Помню тоже выкинул пост на какой-то форум с просьбой помочь решить задачу по физике , никто не помог ,пришлось самому до 5 утра возится
но решил

Цитата(Virun @ 10.1.2006, 18:13 )

Комментарий не по теме: Я написал уже два сообщения, а форум пишит что пока их 0...это связано с установкой нового диза или как? Странно...

В форуме Флейм счётчик сообшений отключён+)

Это сообщение отредактировал(а) Sheridan - 10.1.2006, 18:24

тут все оказалось несколько интереснее
есть правильный многоугольник
описываем вокруг него окружность, начинаем на ней выбирать точки
сумма квадратов расстояний до вершин многоугольника не меняется
один частный случай этого - эта задача
второй - хорошо всем известный со школы - 2-угольник (диаметр)

а для общего вот:
представим, что все это происходит на комплексной плоскости, окружность с единичным радиусом и центром в нуле
тогда вершины многоугольника=exp(i*2*pi*k/n) (n - количество углов, k - от 1 до n)
а произвольная точка на окружности - exp(i*x)

разница между ними: exp(i*x) - exp(i*2*pi*k/n)=exp(i*x)*( 1 - exp i*[2*pi*k/n - x] )
берем квадрат модуля этого
первый множитель уходит ( |exp(i*x)|=1)
для краткости qk=2*pi*k/n - x
остается:
(1 - exp (i*qk) )*(1 - exp (-i*qk) )=2 - 2*cos(qk)
теперь все это суммируем по k от 1 до n
получается 2n - сумма cos(qk)
эта сумма равна нулю
значит, остается 2n
пробовал проверить:
для 2-угольника (диаметра) и для треугольника - сходится
для квадрата - проверял, когда точка совпадает с вершиной и когда она посередине между двумя - сходится...
так что похоже на правду...

P.S.
на всякий случай - доказательство того, что сумма[1..n] cos(qk)=0
cos(qk)=Re exp(i*qk)
S=сумма[1..n] exp(i*qk)
q(k+1)=qk+2*pi/n

S*exp(i*2*pi/n)=сумма[1..n] exp [i*(qk+2*pi/n)]=сумма[1..n] exp( i*q(k+1) )=сумма[2..n+1] exp(i*qk)
т.к. q(n+1)=q1+2*pi, то exp( i*q(n+1) )=exp(i*qk)
получаем S*exp(i*2*pi/n)=сумма[1..n]exp(i*qk)
S=S*чего-то ненулевое
S=0...

Срочно нужна помощь в решении дискретной математики

Это сообщение отредактировал(а) alive - 15.1.2011, 16:02

И это всё во флейме,    разные вопросы у нас уже закрыли?

ТоляМБА, а тебе надо чтобы во флейме только такие посты были:

бу-га-га...
гы-гы-гы...
ох****

честно говоря, задачка мгновенно вызвала у меня красненький алерт в левом полушарии

кстати, легко могу доказать обратное



не написано же что вокруг, мож треугольник вообще не в окружности

з.ы. шутка