У меня есть класс. Я хочу создать его копию с такими же данными, только чтобы не было ссылок.

Каких ссылок?

LSD, 
Есть мой класс. Я делаю так:

MyClass a = new MyClass();
a.param = 2;
MyClass b = a;
b.param = 6;

Здесь переменная из a изменится, так как я сделал ссылку на объект, а не создал копию. Как сделать, чтобы создавалась отдельная копия, без ссылок/указателей на объект?

Не поверишь, но так:

MyClass a = new MyClass();
a.param = 2;

MyClass b = new MyClass();
b.param = 6;

Переопредели метод clone():

Ты напрасно так реагируешь.

Достаточно совсем чуть-чуть подумать головкой, чтобы понять, что создание копии объекта это создание нового объекта + инициализация его полей значениями из исходного объекта.
При этом сразу возникает множество вариантов копирования: глубокое копирование, поверхностное копирование, комбинированные варианты. Что тебе нужно - мы можем только догадываться. Судя по самому вопросу ты об этом даже не задумывался.

Использование стандартного механизма (метода clone() определённого в Object) далеко не всегда лучший подход.
За деталями можешь обратиться к effective java блоха.