Есть работа
"Исследование сходимости интерполяционного процесса при увеличении степени интерполяционного многочлена Лагранжа в случае равноотстоящих узлов"
Прикрепляю скрин программы, а именно постоение графика функции и многочлена Лагранжа. 

Вопрос: почему на концах отрезка рассматриваемого получаются большие расхождения с исхходной функцией?

Присоединённый файл ( Кол-во скачиваний: 20 )
 lab.gif 27,57 Kb

стуканись завтра в асю.

Ok... Много рассказывать?

Здесь это можно объяснить по-разному. Популярно и не очень. Я сам когда-то был "расстроен" таким положением дел. Что ж попробую объяснить.

Надо сказать, что это затрагивает и все другие интерполяционные полиномы той же степени. Например, полином Ньютона просто сторится по другим правилам, но в итоге это будет тот же самый полином. Есть теорема: интерполяционный полином степени n, проходящий через n+1 точку, единственен. Поэтому с полиномами имеем то, что имеем, и изменить что-то не в силах. Сильно сказано, но всё же. Так что говорить буду безотносительно к Лагранжу, а просто про интерполяционные полиномы (интерполянты) больших степеней.

Интерполянт в заданных точках будет точным в пределах погрешностей, ведь по построению он вооще должен через них проходить.

Можно доказать, что g(x) - p(x) = g^(n) (dzeta) / n! * (x-x1)(x-x2)...(x-xn), где g(x) -- интерполируемая функция, p(x) -- единственный интерполяционый полином степени n-1, проходящий через n точек, dzeta -- точка, лежащая между х1 и хn. Практически это выражение не используют, только в простых случаях пригодно для этого, а иногда оценки из-за подбора dzeta выходят на бесконечности. Но оно проще всего объясняет ситуацию.

Начнём увеличивать число точек интерполяции, не трогая сам интервал. Разумно надеятся, что интерполяция в других точках только улучшится. Посмотрим на форуму с увеличением n: факториал и произведение разностей будут направлены на уменьшение ошибки, порядок производной будет расти. Для большинства жизненно важных функций величины n-ых производных растут быстрее n! На практике, как видишь, это может приводить к тому, что интерполянт не в точках интерполяции может значительно отличатся от интерполируемой функции.

Вообще, покажется странным: твоя функция не должна так себя вести. Да синус вообще не больше единицы же! Дело в том, что нет ничего, что бы говорило, что твоя функция должна вести себя не так. Есть мощная теорема Фабера: для любых точек интерполяции найдутся непрерывная функция g(x) и точка из [a, b], такие, что, p(x) не сходится к g(x) при n -> оо.

Если точки разбиения делать не равномерные, а в точках нулей полиномов Чебышёва, то обычно эта проблема обходится. Если узлы интерполяции распределены существенно иначе, например равномерно, то даже для аналитической функции может иметь место расходимость при увеличении числа точек. Иногда это можно объяснить за счёт особенностей конкретной функции. Для твоей функции я не знаю, как это проделать. Ведь у ней нет даже особых точек.

Теорема Фабера говорит, что вообще-то нет правила выбора точек, работающего для любых непрерывных функций.

Ну, и, конечно, не стоит забывать про погрешности. Небольшие изменения в коэффициентах приводят к большим изменениям значений функции.

Интересно послушать mvdr, особенно применительно к конкретной функции.

Ок. Курим здесь.   Вытаскивай mvdr из аси, будем дискутировать. Мне самому не до конца понятно именно с твоей функцией. В принципе, происходить может что угодно в части отклонений, но почему именно так...

Cr@$h,  я крайне редко имею возможность вылезти в интернет "погулять"... прошли свободные времена. 
могу только по асе сидеть.