Доброе время суток, у кого какие мысли, как решить следующую задачу ??

В вершинах равностороннего треугольника со стороной 200 метров сидит по собаке. По команде "старт!" каждая из них начинает гнаться за своей соседкой слева со скоростью 200 метров в минуту. Каждая собака бежит точно в направлении текущего положения своей (тоже, разумеется, бегущей) цели. Поэтому их траектории представляют некие сходящиеся спирали. Через какое время все собаки сойдутся, (вернее, сбегутся) в центре?

С уважением, Антон.

Ух-ты! Классная задача!
Первая мысль- тупой перебор. по времени искать координаты.
О! Так это же в полярных координатах, параметрически заданная функция. Во как все сложно! Осталось её найти 

Я хотел её решить аналитически ( попробовать взять интеграл )...

Но, блин, никак явно координаты не выразить, они друг от друга зависят....   

Это сообщение отредактировал(а) ANTON_AL - 30.1.2007, 21:12

Из соображений симметрии очевидно, что собаки в любой момент времени находятся в углах равностороннего треуголоьника, следовательно, вектор скорости каждой из них направлен под углом 30 градусов к центру, следовательно, составляющая скорости, направленная к центру, равна половине всей скорости (т.е. 100 м/мин)... радиус равен 100м / cos (PI/6), т.е. порядка 115.5 м, отсюда время - 1,155 мин... если я под конец рабочего дня не туплю как черт, то наверное как-то так...

Ну вообще-то косисинус надо брать... а так решение верное

Упс... конечно же, косинус, а не синус, т.е. скорость движения к центру - 200 * sqrt(3)/2, радиус - 100 / (sqrt(3)/2) и время, соответственно - 2/3 минуты, т.е. 40 с... вроде, теперь верно 

Такие задачи можно решать иммитационным моделированием. Запрограммировать подобное движение пара пустяков. После чего замерить время.

Чтобы не быть голословным, набросал программку. Можно задать начальное расстояние, скорость метров в минуту, время одной итерации и количество итераций.

По умолчанию принято, что один проход цикла - одна секунда. Это не очень точное описание, по этому рекомендуется за один проход цикла считать доли секунды (разделитель дробного числа - ',')

Выкладываю только исходники на Delphi7, так как Exe форум не позволяет (164 КБ)

Добавлено @ 02:22 
кстати 35.7 секунд получается примерно

Добавлено @ 02:25 
не, 40.... всё от точности зависит

Присоединённый файл ( Кол-во скачиваний: 6 )
 __________.rar 9,38 Kb

Zip должен позволять 

SelenIT,  Exe в архиве весит 164 КБ

Bitter, дело не в размере, а в том, что не у всех компилятор дельфей под рукой имеется...

SelenIT, та я понимаю, но к сообщению можно прикрепить только 120 КБ. А exe'шник весит, к сожелению - 164 КБ, по этому прикрепить не могу. Могу выслать на ящик

Перейдем в подвижную систему координат, связанную с одной из собак.
В этой системе преследователь будет бежать по прямой, так что догонит ровно через минуту.

MBo, а как в этой системе будет бежать преследуемый? ;)

>как в этой системе будет бежать преследуемый? ;) 
Из симметрии задачи  -  собаки все время будут образовывать равносторонний треугольник, так что если собака А будет находиться в начале движущейся и врашающейся вместе с ней системы координат, то собака B в этой системе будет двигаться по прямой, по оси X из точки (200, 0) в точку (0,0), а собака С по прямой из точки (100, 173) в точку (0,0)

MBo, а преобразование скоростей "подвижным" собакам при таком подходе случайно не понадобится?

Хм... а вроде как и не понадобится... Странно, где же тогда ошибка в моих рассуждениях и в эксперименте Bitterа?

Не, все-таки понадобится - система-то движущаяся, так что скорости по идее так или иначе придется как-то складывать...

Это сообщение отредактировал(а) SelenIT - 31.1.2007, 15:29

конечно понадобится: когда мы переходим в систему, связанную с одной собакой, от скоростей других нужно отнять её скорость (векторно)...

Я в математике мало что понимаю, но даже я вижу, что это глупость. Как это через минуту, если сказано, что собака пробегает 200 метров за минуту, при этом собака Б на месте НЕ стоИт. Собака Б движется к центру по кривой, так же как и собака А. Это значит что расстояние между А и Б во вторую секунду времени НЕ равно расстоянию между А и Б в первую секунду + скорость А:

LenAB_2sec != LenAB_1sec+Speed

SelenIT, 
>Не, все-таки понадобится

Угу, я ошибся  
Взялся по аналогии с собаками в вершинах квадрата, но там скорости соседей всегда под прямым углом направлены, и пройденный путь равен стороне квадрата,  а в данной задаче скорость сближения в полтора раза больше

Это сообщение отредактировал(а) MBo - 31.1.2007, 16:24

Любопытная задача. Изъянов в логике решения, приведенного SelenIT и одобренного аксакалами (в лице Akina) не нашел, но осталось чувство неудовлетворенности от одного обстоятельства: весь прикол в том, что объект (собака, кошка, в общем, неважно кто) движется так, что вектор скорости всегда направлен под фиксированным углом к центру и, следовательно, никогда не направлен в центр. Отсюда следует что, либо для достижения центра требуется бесконечное время, либо за конечное время объект сделает бесконечное число оборотов, асимптотически приближаясь к центру (впрочем, в первом случае число оборотов также будет бесконечным и приближение - асимптотическим). В общем – бесконечное в конечном (наш горячий привет Зенону). Порылся в Googl'е – эта задача цитируется несчетное количество раз и в русскоязычных и в англоязычных ресурсах. Ответы везде разные, но отчетливо просматриваются три "кластера" решений – 40 сек., 1 мин. и что-то дробное в интервале от 0,5 до 1 мин. Аналитического решения нигде не нашел, посему взялся решить задачу аналитически и посмотреть что получится. Решение искал для произвольного правильного n-угольника.




Это сообщение отредактировал(а) Aloha - 2.2.2007, 20:01