Пришёл в выводы, что именно она мне нужна.
Смысл:

Отрезки проецируются на кривую, а не плоскость. 
Смысл в том, что кучки значений надо равномерно распределить по интервалу. 
С помощью полученной модели затем находить положение новых точек на интервале

Как проще всего реализовать такую проекцию?

Поясняю в картинках 

Это обычная параллельная проекция С отрезка А на отрезок В 


Это на кривую.



Таким образом хочу добиться, чтобы на "выпрямленной" кривой расстояния между спроецированными точками было одинакого


Это так была оттренирована система. Теперь приходит новая точка и мне надо найти её спроецированное положение
вот новая тут - красная линия






Нужную кривую я создам сам (думаю колоколами интерполировать проецируемые точки). Вопрос, как легчае всего определять положение новых точек?

Конечно расстояние я могу вырешать, kak sумма через (производная кривой в каждой проецируемой точки * отрезочек), Но кажется это изврат и должен быть другой, менее кривой способ добиться того, что мне надо.

кривая между двумя оттренированными точками будет задана функционально?

Думаю кривую интерполировать колоколами. Это будет функция.

Чтото вроде:

 Сумма_по_всем_тренированным_точкам(е^(si*x^2) )

Где коефф Si надо будет подобрать. Пока ещё точно не решил, что да как, но думаю в этом направлении ждёт удача.

Если возникнут другие предложения - буду рад!

Добавлено через 1 минуту и 57 секунд

можно воспользоваться тем же подходом, который используется для выравнивания распределения генераторов случайных чисел:
берём функцию распределения: F(x)=кол-во точек < x / общее количество точек
сглаживаем её как-нибудь (а то она ступенчатая будет)
и для каждой точки делаем преобразование: a -> F(a)
получившиеся точки будут равномерно распределены на [0,1]

Длина кривой F(x)  на интервале от a до b равна

L=Интеграл от a до b ( Sqrt( 1+F'(x)^2 ) dx )

Если найдешь такую интерполяционную функцию, что будет аналитически считаться интеграл, то будет тебе счастье, иначе придется сумму в цикле по точкам гонять.

P.S. 

ИМХО утебя получается обратный эффект. Между соседними точками с малым расстоянием между собой расстояние остается небольшим, а между точками большим расстояним между собой расстояние еще больше увеличивается.


Это сообщение отредактировал(а) kali - 5.6.2007, 14:54

kali, да, всё верно, спасибо.

Короче я подумал и нашёл решение проблемы. Оно как всегда оказалось довольно простым...

новая координата равна интегралу функции от начала до старой координаты.

Вопрос, чему равен интеграл функции:  ? (Нормальное распределение )
Для этого вопроса я создал спецтему:

sergejzr, в аналитичеких функциях этот интеграл не берется. Только приближенно.
У тебя вариантов два: 
Либо создать таблицу значений (нужных размеров) для интеграла N(0,1), (ню = 0, сигма =1), а потом получить значение для N(m,sigma) (кста в в вики про это написано).
Либо считать все самому, что менее рационально, но точнее.

Добавлено @ 09:51

Не заметил, звиняюсь.

Добавлено @ 09:57

Есть такое понятие как "Естественное задание прямой". 
Суть в том, что в качестве x используется длина кривой  p (ро)от начала до этой точки.

в твоем случае можно проще: 

Так вот, если ты получишь формулу своей кривой в естественных координатах, то для определения новой точки ты просто подбираешь нужное значение p, а потом вычисляешь координаты этой точки.

Это сообщение отредактировал(а) ivashkanet - 4.7.2007, 10:05

У меня получилось то что хотел (в той теме отписал немного).
Смысл в том, что регрессирую колоколами точки и в качестве новой координаты беру нормализованное значение интеграла в старой точке.
Работает "на удивление" хорошо.

Т.е грубо говоря использую не длину кривой (кривая - интеграл), а её градиент. где Градиент большой - разброс большой, где маленький - разброса почти нет.

Сейчас в картинках отображу, вдруг кому понадобится. А ещё лучше, если кто нибудь сможет сказать, что такое уже в научной литературе есть. Тогда мне не надо будет мучатся в публикации 


По X - старые значения от 0 - 10, которые надо "растянуть" на интервал респектируя ожидание новых точек.
Y - не важен для всех графиков кроме последнего.


Собственно алгоритм 

1) Берём тренировочные точки и каждой присваиваем колокол


2) Суммарно колокола дадут нам функцию распределения (чем больше плотность - тем больше значение функции)


3) Новая функция базируется на интеграле суммарной. Идея - чем выше точка в суммарной - тем больше её интеграл и наоборот.
Интеграл суммарной, в свою очередь - сумма интегралов колоколов (которые апроксимируем 1/(1+ехп(-х)) )


4) ну вот и ответ . Здесь значения по Y - то, что мы ищем


Как видим, чем больше градиент- тем больше разброс. В принципе - элементарно 

Т.е чем ближе изначальные точки друг к другу - тем выше значение суммарной функции - тем больше интеграл - тем "круче" градиент суммарного интеграла - тем дальше полученные точки друг от друга.  Напомню, искали мы функцию, которая из первого делает последнее.  

Осталось доказать, что разброс действительно равномерный, но это уже дело техники 

собственно это можно описать так:


только здесь ещё использование "колоколов" привело к некоторому сглаживанию функции распределения, возможно, нелишнему...

maxim1000, возможно я твой ответ неправильно понял 
По идее выравниватель генератора должен как раз наоборот работать - увеличивать вероятность попадания новых точек на те места, где старых не было.

нет, тогда бы распределение зависело от того, какие значения выпадали раньше
возможно, где-то и нужно подобное, но в значительно большем количестве случаев люди хотят независимые значения на каждом шагу
ну и равномерно распределённые, хотя это уже не везде...

Где можно про это почитать? Куда ссылаться? 

да, честно говоря, даже и не помню, откуда узнал
свойство простое: если x - случайная величина, F - её функция распределения, то F(x) - величина, равномерно распределённая на [0,1] (ну с некоторыми допущениями)