 |
|
Модераторы: Poseidon |
 
|
|
[Диффур]Общий интеграл и общее решение 
| daranton |
|
|||
 Новичок Профиль Группа: Участник Сообщений: 44 Регистрация: 4.4.2010 Репутация: нет Всего: нет |
Здравствуйте!
Помогите пожалуйста найти общий интеграл и общее решение дифференциального уравнения второго порядка? Вот условие: x*y'' = y'*ln(y'/x). Спасибо Всем! |
|||
|
||||
Загрузка ...
| Фантом |
|
|||
 Вы это прекратите!  Профиль Группа: Участник Клуба Сообщений: 1516 Регистрация: 23.3.2008 Репутация: 7 Всего: 49 |
Сделайте замену z=y'/x, после этого уравнение легко сводится к уравнению с разделяющимися переменными, причем просто интегрируемому.
Это сообщение отредактировал(а) Фантом - 1.12.2010, 00:32 |
|||
|
||||
| daranton |
|
|||
|
Новичок Профиль Группа: Участник Сообщений: 44 Регистрация: 4.4.2010 Репутация: нет Всего: нет |
Rodman,
Это как? Добавлено через 1 минуту и 21 секунду Фантом, А как Вы его решили? Покажите плиззз....? Добавлено через 1 минуту и 52 секунды Google, А это тут причём? |
|||
|
||||
| daranton |
|
|||
|
Новичок Профиль Группа: Участник Сообщений: 44 Регистрация: 4.4.2010 Репутация: нет Всего: нет |
Google,
А бесплатно поможете? Latex на форуме включен для формул? Спасибо! |
|||
|
||||
| Фантом |
|
|||
|
Вы это прекратите! Профиль Группа: Участник Клуба Сообщений: 1516 Регистрация: 23.3.2008 Репутация: 7 Всего: 49 |
TeX движок форума не понимает, поэтому не покажу
 - слишком неудобно. Попробуйте все-таки последоватать моему совету - там дальше все элементарно до неприличия. |
|||
|
||||
| daranton |
|
|||
|
Новичок Профиль Группа: Участник Сообщений: 44 Регистрация: 4.4.2010 Репутация: нет Всего: нет |
Фантом,
Делаем замену z=y'/x... Что будет дальше? Очень нужно. Спасибо! |
|||
|
||||
| daranton |
|
|||
|
Новичок Профиль Группа: Участник Сообщений: 44 Регистрация: 4.4.2010 Репутация: нет Всего: нет |
Фантом,
Ответьте пожалуйста? |
|||
|
||||
| Elerond |
|
|||
 Бывалый Профиль Группа: Участник Сообщений: 184 Регистрация: 18.6.2007 Репутация: 2 Всего: 3 |
y''=(y'/x)*ln(y'/x)
y'=z z'=zln(z) dz/(z*ln(z))=dx далее интегрируешь int(dz/(z*ln(z)))=int(dx) int(d(ln(z))/ln(z))=x+c ln(ln(z))=x+c ln(z)=e^(x+c) ln(z)=ce^(x) //здесь уже другое "с" z=e^(ce^(x) ) y'=e^(ce^(x) ) найти интеграл  если ни где не ошибся... но если и ошибся то суть ясна --------------------
Мой блог |
|||
|
||||
| daranton |
|
|||
|
Новичок Профиль Группа: Участник Сообщений: 44 Регистрация: 4.4.2010 Репутация: нет Всего: нет |
Elerond,
А какой ответ у Вас получился?  |
|||
|
||||
| Elerond |
|
|||
|
Бывалый Профиль Группа: Участник Сообщений: 184 Регистрация: 18.6.2007 Репутация: 2 Всего: 3 |
daranton, если честно я его не решал, у меня есть подозрение что тут надо копать в сторону Ei(x)... странно, конечно что такой сложный ответ, может все же я ошибся в ходе решения
--------------------
Мой блог |
|||
|
||||
| daranton |
|
|||
|
Новичок Профиль Группа: Участник Сообщений: 44 Регистрация: 4.4.2010 Репутация: нет Всего: нет |
Elerond,
Не могли бы Вы написать полное решение пожалуйста? Очень нужно это сейчас. Спасибо! |
|||
|
||||
| Elerond |
|
|||
|
Бывалый Профиль Группа: Участник Сообщений: 184 Регистрация: 18.6.2007 Репутация: 2 Всего: 3 |
Как я думал, допустил грубую ошибку
 ... (пятница, вечер...)Исправил y''=(y'/x)*ln(y'/x) y'=t(x) - первая замена t'=(t/x)*ln(t/x) t/x=z - вторая замена t=z*x, t'=z'x+z подставим: z'*x+z=z*ln(z) z'=z*(ln(z)-1)/x dz/(z*(ln(z)-1))=(1/x)dx далее интегрируешь int(dz/(z*(ln(z)-1)))=int(dx/x) int(d(ln(z)-1)/(ln(z)-1))=int(dx/x) ln(ln(z)-1)=ln(x)+c ln(z)-1=c*x ln(z)=c*x+1 z=e^(c*x+1) t/x=e^(c*x+1) t=x*e^(c*x+1) y'=x*e^(c*x+1) y=e*(e^(c*x+1))*(c*x-1)/(c*c)+k ответ вроде верный, подставил в исходное уравнение все сошлось  Это сообщение отредактировал(а) Elerond - 6.12.2010, 10:12 --------------------
Мой блог |
|||
|
||||
| daranton |
|
|||
|
Новичок Профиль Группа: Участник Сообщений: 44 Регистрация: 4.4.2010 Репутация: нет Всего: нет |
Elerond,
Наверно сразу можно сделать только одну замену и такую t = y'/x??? У меня получилось так ln(z) + С = С + x + 1, ПОЧЕМУ у Вас ln(z)=c*x+1 Напишите пожалуйста как получили и что сделали если можно? y'=x*e^(c*x+1) Далее Вы опять разделили переменные y' = dy/dx, тогда не понимаю как Вы получили именно такой вот ответ напишите пожалуйста действия все подробно и преобразования? y=e*(e^(c*x+1))*(c*x-1)/(c*c)+k Движок И Latex и uSR не понимает, А Вы давно на форуме? А Вы умеете находить общий интеграл данного уравнения? Если да, то объясните пожалуйста как его найти и что получим, мне это позарез нужно очень? А Вы умеете находить общее решение линейных уравнений (диф) второго порядка? Если да, то помогите пожалуйста? Спасибо Вам Огромноееееее!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! |
|||
|
||||
| Elerond |
|
||||||||||
|
Бывалый Профиль Группа: Участник Сообщений: 184 Регистрация: 18.6.2007 Репутация: 2 Всего: 3 |
Заменить можно было и сразу, просто я хотел показать более прозрачно, и было понятно что происходит.
можно и так z=y'/x тогда y''=z'*x+z получим z'*x+z=z*ln(z) - то есть тоже самое, при обратном преобразовании аналогично теперь почему cx а не c+x, c - это константа и она может быть любой, в диффурах ее численное значение не важно, поэтому: ln(x)+c = ln(x)+ln©=ln(x*c) - тут важно понять что с и ln( c ) - константы, и поэтому я не стал заморачиваться и придумывать новую константу, а оставил просто "с" , вы можете писать c1, c2 ... это в данном случае роли не играет, логичнее было бы с1=ln( c ) - но это мелочи
тут я ни чего не делил, а просто взял интеграл, что бы найти y - который и есть общее решение.
а это получено при помощи метода интегрирования по частям: udv=uv-int(vdu) в нашем случае: u=x, dv=e^(c*x+1) откуда du=dx, v=(e^(c*x+1))/c подставив получаем y=(e^(c*x+1))*(c*x-1)/(c*c)+c1 кстати, я там случайно лишнее "e" добавил (сложно тут формулы печатать) Общий интеграл будет: y-(e^(c*x+1))*(c*x-1)/(c*c)+c1=0
дата регистрации 18.6.2007
находится в виде F(y, x, C)=0 в нашем случае: y-(e^(c*x+1))*(c*x-1)/(c*c)+c1=0
так это и есть решение уравнения второго порядка y=(e^(c*x+1))*(c*x-1)/(c*c)+c1 а вообще, когда то в студенчестве все это решал --------------------
Мой блог |
||||||||||
|
|||||||||||
| daranton |
|
||||||||
|
Новичок Профиль Группа: Участник Сообщений: 44 Регистрация: 4.4.2010 Репутация: нет Всего: нет |
Elerond,
В этом месте не понимаю Вас, объясните пожалуйста что Вы имеете в виду??? 
А вы тут константу логарифмируете или интегрируете, раз пишете ln(C*x) или я не прав???
Объясните пожалуйста подробнее этот метод по частям не понимаю, если можно формулами?
И всё-таки, чтобы найти общий интеграл какой логикой Вы пользовались, опишите пожалуйста? Спасибо!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! |
||||||||
|
|||||||||
|
|
| Правила форума "Центр помощи" | |
|
|
ВНИМАНИЕ! Прежде чем создавать темы, или писать сообщения в данный раздел, ознакомьтесь, пожалуйста, с Правилами форума и конкретно этого раздела.
Более подробно с правилами данного раздела Вы можете ознакомится в этой теме. Если Вам помогли и атмосфера форума Вам понравилась, то заходите к нам чаще! С уважением, Poseidon, Rodman |
| 1 Пользователей читают эту тему (1 Гостей и 0 Скрытых Пользователей) | |
| 0 Пользователей: | |
| « Предыдущая тема | Центр помощи | Следующая тема » |
[ Время генерации скрипта: 0.0829 ] [ Использовано запросов: 21 ] [ GZIP включён ]
Реклама на сайте Информационное спонсорство
|
|
По вопросам размещения рекламы пишите на vladimir(sobaka)vingrad.ru
Отказ от ответственности Powered by Invision Power Board(R) 1.3 © 2003 IPS, Inc. |