Модераторы: Poseidon

Поиск:

Ответ в темуСоздание новой темы Создание опроса
> [Диффур]Общий интеграл и общее решение 
:(
    Опции темы
daranton
Дата 30.11.2010, 05:12 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка ... Загрузка ... Быстрая цитата Цитата


Новичок



Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 44
Регистрация: 4.4.2010

Репутация: нет
Всего: нет
Здравствуйте!

Помогите пожалуйста найти общий интеграл и общее решение дифференциального уравнения второго порядка?

Вот условие:

x*y'' = y'*ln(y'/x).

Спасибо Всем!
PM MAIL   Вверх
Фантом
Дата 1.12.2010, 00:31 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка ... Загрузка ... Быстрая цитата Цитата


Вы это прекратите!
***


Профиль
Группа: Участник Клуба
Сообщений: 1516
Регистрация: 23.3.2008

Репутация: 7
Всего: 49
Сделайте замену z=y'/x, после этого уравнение легко сводится к уравнению с разделяющимися переменными, причем просто интегрируемому.

Это сообщение отредактировал(а) Фантом - 1.12.2010, 00:32
PM   Вверх
daranton
Дата 1.12.2010, 03:41 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка ... Загрузка ... Быстрая цитата Цитата


Новичок



Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 44
Регистрация: 4.4.2010

Репутация: нет
Всего: нет
Rodman, 

Это как?

Добавлено через 1 минуту и 21 секунду
Фантом, 

А как Вы его решили?

Покажите плиззз....?

Добавлено через 1 минуту и 52 секунды
Google, 

А это тут причём?
PM MAIL   Вверх
daranton
Дата 1.12.2010, 14:29 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка ... Загрузка ... Быстрая цитата Цитата


Новичок



Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 44
Регистрация: 4.4.2010

Репутация: нет
Всего: нет
Google, 

А бесплатно поможете?

Latex на форуме включен для формул?

Спасибо!
PM MAIL   Вверх
Фантом
Дата 1.12.2010, 23:18 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка ... Загрузка ... Быстрая цитата Цитата


Вы это прекратите!
***


Профиль
Группа: Участник Клуба
Сообщений: 1516
Регистрация: 23.3.2008

Репутация: 7
Всего: 49
TeX движок форума не понимает, поэтому не покажу  smile - слишком неудобно. Попробуйте все-таки последоватать моему совету - там дальше все элементарно до неприличия.
PM   Вверх
daranton
Дата 1.12.2010, 23:36 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка ... Загрузка ... Быстрая цитата Цитата


Новичок



Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 44
Регистрация: 4.4.2010

Репутация: нет
Всего: нет
Фантом, 

Делаем замену z=y'/x...

Что будет дальше?

Очень нужно.

Спасибо!
PM MAIL   Вверх
daranton
Дата 3.12.2010, 17:15 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка ... Загрузка ... Быстрая цитата Цитата


Новичок



Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 44
Регистрация: 4.4.2010

Репутация: нет
Всего: нет
Фантом, 

Ответьте пожалуйста?
PM MAIL   Вверх
Elerond
Дата 3.12.2010, 17:40 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка ... Загрузка ... Быстрая цитата Цитата


Бывалый
*


Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 184
Регистрация: 18.6.2007

Репутация: 2
Всего: 3
y''=(y'/x)*ln(y'/x)
y'=z
z'=zln(z)
dz/(z*ln(z))=dx
далее интегрируешь
int(dz/(z*ln(z)))=int(dx)
int(d(ln(z))/ln(z))=x+c
ln(ln(z))=x+c
ln(z)=e^(x+c)
ln(z)=ce^(x) //здесь уже другое "с"
z=e^(ce^(x) )
y'=e^(ce^(x) ) 
найти интеграл  smile 

если ни где не ошибся... но если и ошибся то суть ясна
--------------------
Мой блог
PM MAIL WWW   Вверх
daranton
Дата 5.12.2010, 23:06 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка ... Загрузка ... Быстрая цитата Цитата


Новичок



Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 44
Регистрация: 4.4.2010

Репутация: нет
Всего: нет
Elerond, 

А  какой ответ у Вас получился?

 smile 
PM MAIL   Вверх
Elerond
Дата 6.12.2010, 00:27 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка ... Загрузка ... Быстрая цитата Цитата


Бывалый
*


Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 184
Регистрация: 18.6.2007

Репутация: 2
Всего: 3
daranton, если честно я его не решал, у меня есть подозрение что тут надо копать в сторону Ei(x)... странно, конечно что такой сложный ответ, может все же я ошибся в ходе решения  smile 
--------------------
Мой блог
PM MAIL WWW   Вверх
daranton
Дата 6.12.2010, 03:20 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка ... Загрузка ... Быстрая цитата Цитата


Новичок



Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 44
Регистрация: 4.4.2010

Репутация: нет
Всего: нет
Elerond, 

Не могли бы Вы написать полное решение пожалуйста?

Очень нужно это сейчас.

Спасибо!
 
smile 
PM MAIL   Вверх
Elerond
Дата 6.12.2010, 10:11 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка ... Загрузка ... Быстрая цитата Цитата


Бывалый
*


Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 184
Регистрация: 18.6.2007

Репутация: 2
Всего: 3
Как я думал, допустил грубую ошибку  smile ... (пятница, вечер...)

Исправил

y''=(y'/x)*ln(y'/x)
y'=t(x) - первая замена 
t'=(t/x)*ln(t/x)
t/x=z - вторая замена
t=z*x, t'=z'x+z
подставим:
z'*x+z=z*ln(z)
z'=z*(ln(z)-1)/x
dz/(z*(ln(z)-1))=(1/x)dx
далее интегрируешь
int(dz/(z*(ln(z)-1)))=int(dx/x)
int(d(ln(z)-1)/(ln(z)-1))=int(dx/x)
ln(ln(z)-1)=ln(x)+c
ln(z)-1=c*x
ln(z)=c*x+1
z=e^(c*x+1) 
t/x=e^(c*x+1)
t=x*e^(c*x+1)
y'=x*e^(c*x+1)
y=e*(e^(c*x+1))*(c*x-1)/(c*c)+k
ответ вроде верный, подставил в исходное уравнение все сошлось  smile 

Это сообщение отредактировал(а) Elerond - 6.12.2010, 10:12
--------------------
Мой блог
PM MAIL WWW   Вверх
daranton
Дата 7.12.2010, 00:32 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка ... Загрузка ... Быстрая цитата Цитата


Новичок



Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 44
Регистрация: 4.4.2010

Репутация: нет
Всего: нет
Elerond, 

Наверно сразу можно сделать только одну замену и такую t = y'/x???

У меня получилось так ln(z) + С = С + x + 1, ПОЧЕМУ у Вас ln(z)=c*x+1 Напишите пожалуйста как получили и что сделали если можно?

y'=x*e^(c*x+1) Далее Вы опять разделили переменные y' = dy/dx, тогда не понимаю как Вы получили именно такой вот ответ напишите пожалуйста действия все подробно и преобразования?
y=e*(e^(c*x+1))*(c*x-1)/(c*c)+k

Движок И Latex и uSR не понимает, А Вы давно на форуме?

А Вы умеете находить общий интеграл данного уравнения?

Если да, то объясните пожалуйста как его найти и что получим, мне это позарез нужно очень?

А Вы умеете находить общее решение линейных уравнений (диф) второго порядка?

Если да, то помогите пожалуйста?

Спасибо Вам Огромноееееее!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!









 
PM MAIL   Вверх
Elerond
Дата 7.12.2010, 11:45 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка ... Загрузка ... Быстрая цитата Цитата


Бывалый
*


Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 184
Регистрация: 18.6.2007

Репутация: 2
Всего: 3
Заменить можно было и сразу, просто я хотел показать более прозрачно, и было понятно что происходит.

можно и так z=y'/x
тогда y''=z'*x+z
получим z'*x+z=z*ln(z) - то есть тоже самое, при обратном преобразовании аналогично

теперь почему cx а не c+x, c - это константа и она может быть любой, в диффурах ее численное значение не важно, поэтому:
ln(x)+c = ln(x)+ln©=ln(x*c) - тут важно понять что с и ln( c ) - константы, и поэтому я не стал заморачиваться и придумывать новую константу, а оставил просто "с" , вы можете писать c1, c2 ... это в данном случае роли не играет, логичнее было бы с1=ln( c ) - но это мелочи



Цитата(daranton @  7.12.2010,  00:32 Найти цитируемый пост)
y'=x*e^(c*x+1) Далее Вы опять разделили переменные y' = dy/dx, тогда не понимаю как Вы получили именно такой вот ответ напишите пожалуйста действия все подробно и преобразования?


тут я ни чего не делил, а просто взял интеграл, что бы найти y - который и есть общее решение.


Цитата(daranton @  7.12.2010,  00:32 Найти цитируемый пост)
y=e*(e^(c*x+1))*(c*x-1)/(c*c)+k


а это получено при помощи метода интегрирования по частям: udv=uv-int(vdu)
в нашем случае: u=x, dv=e^(c*x+1) откуда du=dx, v=(e^(c*x+1))/c 
подставив получаем y=(e^(c*x+1))*(c*x-1)/(c*c)+c1

кстати, я там случайно лишнее "e" добавил (сложно тут формулы печатать)

Общий интеграл будет: y-(e^(c*x+1))*(c*x-1)/(c*c)+c1=0


Цитата(daranton @  7.12.2010,  00:32 Найти цитируемый пост)
А Вы давно на форуме?

дата регистрации 18.6.2007

Цитата(daranton @  7.12.2010,  00:32 Найти цитируемый пост)
А Вы умеете находить общий интеграл данного уравнения?

находится в виде F(y, x, C)=0    в нашем случае: y-(e^(c*x+1))*(c*x-1)/(c*c)+c1=0

Цитата(daranton @  7.12.2010,  00:32 Найти цитируемый пост)
А Вы умеете находить общее решение линейных уравнений (диф) второго порядка?

так это и есть решение уравнения второго порядка y=(e^(c*x+1))*(c*x-1)/(c*c)+c1
 а вообще, когда то в студенчестве все это решал  smile 
--------------------
Мой блог
PM MAIL WWW   Вверх
daranton
Дата 8.12.2010, 01:55 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка ... Загрузка ... Быстрая цитата Цитата


Новичок



Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 44
Регистрация: 4.4.2010

Репутация: нет
Всего: нет
Elerond, 

Цитата
при обратном преобразовании аналогично


В этом месте не понимаю Вас, объясните пожалуйста что Вы имеете в виду???

 smile 

Цитата
ln(x)+c = ln(x)+ln©=ln(x*c) - тут важно понять что с и ln( c ) - константы, и поэтому я не стал заморачиваться и придумывать новую константу, а оставил просто "с" , вы можете писать c1, c2 ... это в данном случае роли не играет, логичнее было бы с1=ln( c ) - но это мелочи


А вы тут константу логарифмируете или интегрируете, раз пишете ln(C*x) или я не прав???

Цитата

а это получено при помощи метода интегрирования по частям: udv=uv-int(vdu)
в нашем случае: u=x, dv=e^(c*x+1) откуда du=dx, v=(e^(c*x+1))/c 
подставив получаем y=(e^(c*x+1))*(c*x-1)/(c*c)+c1


Объясните пожалуйста подробнее этот метод по частям не понимаю, если можно формулами?

Цитата

находится в виде F(y, x, C)=0    в нашем случае: y-(e^(c*x+1))*(c*x-1)/(c*c)+c1=0


И всё-таки, чтобы найти общий интеграл какой логикой Вы пользовались, опишите пожалуйста?

Спасибо!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
PM MAIL   Вверх
Elerond
Дата 8.12.2010, 12:30 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка ... Загрузка ... Быстрая цитата Цитата


Бывалый
*


Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 184
Регистрация: 18.6.2007

Репутация: 2
Всего: 3
daranton, у меня сейчас туго со временем...


Цитата(daranton @  8.12.2010,  01:55 Найти цитируемый пост)
Цитата
при обратном преобразовании аналогично


В этом месте не понимаю Вас, объясните пожалуйста что Вы имеете в виду???

можно просто забить... я хотел сказать что нет разницы в подстановках


Цитата(daranton @  8.12.2010,  01:55 Найти цитируемый пост)
Цитата
ln(x)+c = ln(x)+ln©=ln(x*c) - тут важно понять что с и ln( c ) - константы, и поэтому я не стал заморачиваться и придумывать новую константу, а оставил просто "с" , вы можете писать c1, c2 ... это в данном случае роли не играет, логичнее было бы с1=ln( c ) - но это мелочи


А вы тут константу логарифмируете или интегрируете, раз пишете ln(C*x) или я не прав???

Тут я просто представил ln(x)+c=ln(cx), есть такое правило в арифметике ln(ab)=ln(a)+ln(b)


Цитата(daranton @  8.12.2010,  01:55 Найти цитируемый пост)
Цитата

а это получено при помощи метода интегрирования по частям: int(udv)=uv-int(vdu)
в нашем случае: u=x, dv=e^(c*x+1) откуда du=dx, v=(e^(c*x+1))/c 
подставив получаем y=(e^(c*x+1))*(c*x-1)/(c*c)+c1


Объясните пожалуйста подробнее этот метод по частям не понимаю, если можно формулами?

Найти в интернете это очень не сложно, информации много по интегрированию по частям, тем более формулу я написал: int(udv)=uv-int(vdu), и даже замены которые сделал, правда опять забыл знак интеграла (поправил)


Цитата(daranton @  8.12.2010,  01:55 Найти цитируемый пост)

Цитата

находится в виде F(y, x, C)=0    в нашем случае: y-(e^(c*x+1))*(c*x-1)/(c*c)+c1=0


И всё-таки, чтобы найти общий интеграл какой логикой Вы пользовались, опишите пожалуйста?

Просто привел к такому виду переносом всех неизвестных в одну сторону...
--------------------
Мой блог
PM MAIL WWW   Вверх
daranton
Дата 9.12.2010, 03:28 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка ... Загрузка ... Быстрая цитата Цитата


Новичок



Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 44
Регистрация: 4.4.2010

Репутация: нет
Всего: нет
Elerond, 

 smile 

Спасибо!

Добавлено через 5 минут и 46 секунд
Elerond, 

Цитата

Найти в интернете это очень не сложно, информации много по интегрированию по частям, тем более формулу я написал: int(udv)=uv-int(vdu), и даже замены которые сделал, правда опять забыл знак интеграла (поправил)


Где Вы его забыли?

Напишите пожалуйста подробно, если можно взятие такого интеграла по частям?

Очень благодарен Вам!

 smile 
PM MAIL   Вверх
Elerond
Дата 9.12.2010, 09:56 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка ... Загрузка ... Быстрая цитата Цитата


Бывалый
*


Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 184
Регистрация: 18.6.2007

Репутация: 2
Всего: 3
Цитата(daranton @  9.12.2010,  03:28 Найти цитируемый пост)

Где Вы его забыли?

int(udv)=uv-int(vdu) - надо
(udv)=uv-int(vdu) - было
--------------------
Мой блог
PM MAIL WWW   Вверх
daranton
Дата 9.12.2010, 10:06 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка ... Загрузка ... Быстрая цитата Цитата


Новичок



Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 44
Регистрация: 4.4.2010

Репутация: нет
Всего: нет
Elerond, 

Аха,...вот оно что!

А как Вы взяли такой интеграл по заданию?

Покажите пожалуйста, если Вам это нетрудно?

Спасибо!
PM MAIL   Вверх
Elerond
Дата 9.12.2010, 10:24 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка ... Загрузка ... Быстрая цитата Цитата


Бывалый
*


Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 184
Регистрация: 18.6.2007

Репутация: 2
Всего: 3
Цитата(Elerond @  8.12.2010,  12:30 Найти цитируемый пост)
в нашем случае: u=x, dv=e^(c*x+1) откуда du=dx, v=(e^(c*x+1))/c 

то есть, int(x*e^(c*x+1) )=x*(e^(c*x+1))/c-int((e^(c*x+1))dx/c)=x*(e^(c*x+1))/c-(e^(c*x+1))/(c*c)+c1=(e^(c*x+1))(x*c-1)/(c*c)+c1
--------------------
Мой блог
PM MAIL WWW   Вверх
daranton
Дата 9.12.2010, 10:29 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка ... Загрузка ... Быстрая цитата Цитата


Новичок



Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 44
Регистрация: 4.4.2010

Репутация: нет
Всего: нет
Elerond, 

Оооооо....Спасибо!

 smile 
PM MAIL   Вверх
daranton
Дата 11.12.2010, 04:49 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка ... Загрузка ... Быстрая цитата Цитата


Новичок



Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 44
Регистрация: 4.4.2010

Репутация: нет
Всего: нет
Elerond, 

теория утверждает 
d(u*v) = du * v + u * dv 
интеграл (u * dv) = интеграл d ( u * v) - интеграл (du * v) 
интеграл (u * dv) = ( u * v) - интеграл (du * v) + const 

что касается данного примера, то 
d( x * e^(C1*x+1) ) = d x * e^(C1*x+1) + x *d( e^(C1*x+1) ) 
d( x * e^(C1*x+1) ) = d x * e^(C1*x+1) + x * e^(C1*x+1) * C1*dx 
x * e^(C1*x+1) * C1*dx = d( x * e^(C1*x+1) ) - d x * e^(C1*x+1) 
интеграл (x * e^(C1*x+1) * C1*dx) =интеграл d( x * e^(C1*x+1) ) - интеграл d x * e^(C1*x+1) 
интеграл (x * e^(C1*x+1) *dx) =1/С1 * интеграл d( x * e^(C1*x+1) ) - 1/С1*интеграл d x * e^(C1*x+1) 
интеграл (x * e^(C1*x+1) *dx) =1/С1 * ( x * e^(C1*x+1) ) - 1/С1*1/С1 * e^(C1*x+1) + const

если подинтегральное выражение состоит из 2 множителей, то есть смысл интегрировать по частям, если 
1) ты можешь взять производную одного множителя и полученное произведение легко интегрируется 
2) другой множитель легко интегрируется 
тогда первый множитель = U 
тогда второй множитель = dV 
и пользуемся формулой интегрирования по частям 

ответ искомый интеграл равен 1/С1 * ( x * e^(C1*x+1) ) - 1/С1*1/С1 * e^(C1*x+1) + const

Исправляй ошибку пожалуйста?

Спасибо!
PM MAIL   Вверх
Elerond
Дата 12.12.2010, 23:51 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка ... Загрузка ... Быстрая цитата Цитата


Бывалый
*


Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 184
Регистрация: 18.6.2007

Репутация: 2
Всего: 3
daranton, где ошибка то?

Добавлено через 2 минуты и 39 секунд
И зачем так много писанины в решении, достаточно воспользоваться конечной формулой 
--------------------
Мой блог
PM MAIL WWW   Вверх
daranton
Дата 13.12.2010, 00:33 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка ... Загрузка ... Быстрая цитата Цитата


Новичок



Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 44
Регистрация: 4.4.2010

Репутация: нет
Всего: нет
Elerond, 
У Вас (e^(c*x+1))(x*c-1)/(c*c)+c1, а нужно 1/С1 * ( x * e^(C1*x+1) ) - 1/С1*1/С1 * e^(C1*x+1) + const

 smile 
PM MAIL   Вверх
Elerond
Дата 13.12.2010, 14:26 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка ... Загрузка ... Быстрая цитата Цитата


Бывалый
*


Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 184
Регистрация: 18.6.2007

Репутация: 2
Всего: 3
daranton, арифметика, 9-й класс, вынеси за скобки и будет так же
--------------------
Мой блог
PM MAIL WWW   Вверх
daranton
Дата 14.12.2010, 05:43 (ссылка) | (нет голосов) Загрузка ... Загрузка ... Быстрая цитата Цитата


Новичок



Профиль
Группа: Участник
Сообщений: 44
Регистрация: 4.4.2010

Репутация: нет
Всего: нет
Elerond, 

Спасибо!
PM MAIL   Вверх
Страницы: (2) [Все] 1 2 
 Ответ в темуСоздание новой темы Создание опроса
Правила форума "Центр помощи"

ВНИМАНИЕ! Прежде чем создавать темы, или писать сообщения в данный раздел, ознакомьтесь, пожалуйста, с Правилами форума и конкретно этого раздела.
Несоблюдение правил может повлечь за собой самые строгие меры от закрытия/удаления темы до бана пользователя!


  • Название темы должно отражать её суть! (Не следует добавлять туда слова "помогите", "срочно" и т.п.)
  • При создании темы, первым делом в квадратных скобках укажите область, из которой исходит вопрос (язык, дисциплина, диплом). Пример: [C++].
  • В названии темы не нужно указывать происхождение задачи (например "школьная задача", "задача из учебника" и т.п.), не нужно указывать ее сложность ("простая задача", "легкий вопрос" и т.п.). Все это можно писать в тексте самой задачи.
  • Если Вы ошиблись при вводе названия темы, отправьте письмо любому из модераторов раздела (через личные сообщения или report).
  • Для подсветки кода пользуйтесь тегами [code][/code] (выделяйте код и нажимаете на кнопку "Код"). Не забывайте выбирать при этом соответствующий язык.
  • Помните: один топик - один вопрос!
  • В данном разделе запрещено поднимать темы, т.е. при отсутствии ответов на Ваш вопрос добавлять новые ответы к теме, тем самым поднимая тему на верх списка.
  • Если вы хотите, чтобы вашу проблему решили при помощи определенного алгоритма, то не забудьте описать его!
  • Если вопрос решён, то воспользуйтесь ссылкой "Пометить как решённый", которая находится под кнопками создания темы или специальным флажком при ответе.

Более подробно с правилами данного раздела Вы можете ознакомится в этой теме.

Если Вам помогли и атмосфера форума Вам понравилась, то заходите к нам чаще! С уважением, Poseidon, Rodman
 
1 Пользователей читают эту тему (1 Гостей и 0 Скрытых Пользователей)
0 Пользователей:
« Предыдущая тема | Центр помощи | Следующая тема »

Подписаться на тему | Подписка на этот форум | Скачать/Распечатать тему


 




[ Время генерации скрипта: 0.1056 ]   [ Использовано запросов: 21 ]   [ GZIP включён ]


Реклама на сайте     Информационное спонсорство

 
 По вопросам размещения рекламы пишите на vladimir(sobaka)vingrad.ru
Отказ от ответственности     Powered by Invision Power Board(R) 1.3 © 2003  IPS, Inc.