Для каждого числа будет определена абсолютная и относительная точность представления в форме числа с плавающей точкой:

• Число 1.0; абсолютная погрешность представления - (1 * эпсилон), относительная - эпсилон
• Число 1.0е-2; абсолютная погрешность представления - (1.0e-2 * эпсилон), относительная - эпсилон
• Число 1.0е-10; абсолютная погрешность представления - (1.0e-10 * эпсилон), относительная - эпсилон
• Число 1.0е10; абсолютная погрешность представления - (1.0e10 * эпсилон), относительная - эпсилон

Как видно, абсолютная погрешность представления меняется (в зависимости от представляемого числа), поэтому она "изменяющаяся". И "изменяющаяся" она не для конкретного выбранного числа (в зависимости от фаз Луны, что ли, сегодня одна, завтра - другая))), а меняется вместе с представляемым числом. В то же время относительная погрешность никак не меняется при выборе представляемого числа, поэтому она "фиксированная"...

Давайте ещё про long double похоливарим.  

  Да, был неправ на счет тригонометрических функций. Для AMD64/x86 процов нет специальной реализации sinf/atanf . Сопроцессор считает их исключительно как double . У него просто нет аппаратных вычислительных блоков разрядности 32. Для тригонометрии получается double будет работать быстрее за исключением случаев не хватки кэша процессора.
  Но я вот провел другой эксперимент не зависящий от кэша проца. Для складирования использовал массивы небольшой размерности (на 100 элементов), так чтобы double и float были в равных условиях. Кроме того, чтобы компилятор не филонил, зарядил даже вывод результатов на экран.

Вот такой получился код

  
Результат для float -в получился в 2 раза быстрее. Причем SSE2 мало влияет на результат, поскольку такой код не очень хорошо оптимизируется. Зато разница по скорости тем заметнее чем сложнее выражение. По-моему это явно указывает на то, что сопроцессору не все равно с одинарной или двойной точностью считать. 

Alexeis,   

Только у Вас там стоит _PC_64, что на мой взгляд означает long double, а не просто double.

Мантиса у дабла 53 бита? Нужно попробовать с _PC_53 тогда.

Вероятно да, это так.

Но сам по себе выбор типа: float или double - никакой роли на точность сопроцессора, а следовательно на скорость, не оказывают.
Например, если перед дабл-вычислением поставить _control87(_PC_24, _MCW_PC);
то будет считать с такой - же скоростью как и float. (и вероятно, с такой-же реальной точностью.)

В общем здесь весь фокус в инструкции _control87 ();
Но это же чисто мелко-мягкая фича, как я понимаю?

  Да, имеется такая пакость, когда имеешь на руках "половинные" даблы. Реально считается только половина цифр. И занимают кучу памяти и нифига не точные. 


  А как можно повлиять на софтовом уровне на скорость операций? Мне кажется только аппаратно можно повлиять. 

Ну вот в связи с этим, на вопрос новичка "зачем нужен float?" 
отвечать - для увеличения скорости, всеже не совсем верно.
скорость увеличиваецца не от float, а от какиx-то аппартных (плохо/не переносимых) штучек.
О которых новичку вовсе пока не нужно знать.
Да и НЕ новичку кстати тоже (помним о "premature optimization"), только если уж совсем подопрет...

Правильным-же ответом на вопрос "зачем нужен float?" все-же будет - экономия памяти. 
нет?

volatile, ну если С++ это только AMD64 и x86 то да. Есть много железяк где нет 64х битного сопроцессора, на некоторых совсем нет никакого даже 32х битного и float-ы вычисляются программно через библиотеки идущие в комплекте с компилятором. В общем случае, float должен быть не медленнее double, a double не медленнее long double. Если пишется универсальный программный модуль, то это следует учитывать. 

Мда. Вроде как уже не первый день программирую. По крайне мере, кой-чиво уже писал. А вот эти основы для меня самые трудные для понимания. Уже казалось бы, и так и сяк кручу и верчу. Но как-то не всё улаживается в голове.
Взять хотя бы понятия абсолютная погрешность и относительная погрешность. О погрешностях я прочитал тут тут
Вот как у чисел с фиксированной точностью может быть так:

А у чисел с плавающей точкой (запятой) иначе:

Понять не выходить. Относительно чего всё это анализировать?

Думаю, если оно не пригодится дальше, может вообще пропустить     
Хотя хочется уже добить этот момент и дальше свободно всё штудировать.

Я бы забил)))


Ну, если охота пуще неволи...

Что именно в этом абзаце не понятно:

Для каждого числа будет определена абсолютная и относительная точность представления в форме числа с плавающей точкой:

• Число 1.0; абсолютная погрешность представления - (1 * эпсилон), относительная - эпсилон
• Число 1.0е-2; абсолютная погрешность представления - (1.0e-2 * эпсилон), относительная - эпсилон
• Число 1.0е-10; абсолютная погрешность представления - (1.0e-10 * эпсилон), относительная - эпсилон
• Число 1.0е10; абсолютная погрешность представления - (1.0e10 * эпсилон), относительная - эпсилон

Как видно, абсолютная погрешность представления меняется (в зависимости от представляемого числа), поэтому она "изменяющаяся". И "изменяющаяся" она не для конкретного выбранного числа (в зависимости от фаз Луны, что ли, сегодня одна, завтра - другая))), а меняется вместе с представляемым числом. В то же время относительная погрешность никак не меняется при выборе представляемого числа, поэтому она "фиксированная"...

Тут же e и есть эпсилон. Откуда там после 1.0е-2 будет ещё * эпсилон?
p.s. Видать скоро точно сдамся   

О господи, e-2 - это порядок в десятичном представлении. 1.0 - мантисса в десятичном представлении. Разница между, к примеру float2, который 2^-8(если первая не значащая) последним битом и следующим в памяти за ним числом(предпоследний бит представлен для +inf,-inf и различных NaN, подробнее в википедии) и есть машинное эпсилон. Только сначала нужно перегнать всё в двоичное представление, а это сделано для простоты восприятия программистом.   


Feodorv, и ни надо новичкам в десятичном представлении числа с плавающей точкой показывать, пусть учатся, а то будет у них глупое представление, которое потом из них не выбьешь.   
К тому же сам немного ошибаешься.

Это сообщение отредактировал(а) Wuffur - 21.7.2013, 16:45

Ээээ, нет. Постойте. 

Буковка e в записи числа указывает, что дальше пойдёт целое число, означающее прядок числа:

Эти примеры понятны? (.0 в записи числа с плавающей точкой - необязательны, но приведены для порядка).


Что же такое эпсилон?

Находим ссылку, которую дал Wuffur: Для самообразования: http://en.wikipedia.org/wiki/Machine_epsilon
Заходим по ней, видим название статьи: Machine epsilon. Так вот он, какой эпсилон - машинный!
Для float это значение равно 2 ^ -24 = 5.96e-08. 


Что это значит?

То есть для разницы машинного представления и первоначального числа: |X - x| < (X * 5.96e-08) или двойное неравенство X - (X * 5.96e-08) < x < X + (X * 5.96e-08)


А с чего вдруг моё хорошее число x может превратиться в какое-то машинное X?
И вот тут хочешь-не хочешь, а придётся разбираться с форматом представления чисел с плавающей точкой (ссылка от bsa: Число одинарной точности)
Внезапно выяснится, что и мантисса, и порядок находятся в двоичной системе счисления (а не в десятеричной!), что лидирующая единица не участвует в представлении числа, но держится в уме и т.д. и т.п.

И вот с этого последнего и стОит начинать разговор. Всё остальное - лирика...

Добавлено через 5 минут и 4 секунды
Ух ты, пока писАл, Wuffur, уже ответил)))



Я жеж только за!



Я и за полную и неприкрытую правду))) Где, в чём?

В том что если умножить 10^n это то же самое что 2^m, которое и указывает порядок. С помощью 1.0e-2 указывает, что на экран вывелось именно 10^-2, а не 2^-8. Мантисса (1),0100011, для float32. И машинное эпсилон надо умножать на 2^-8.

Это сообщение отредактировал(а) Wuffur - 21.7.2013, 17:57